方法手册

先假设一种极端情况，再按差额回退，把两类未知数拆成一次关系。

把抽象数量关系画成圆圈、线段、条形，让“多/少/倍”一眼可见。

用字母表示未知量，按题意列等式，把推理交给代数运算。

从结果倒着走回起点：每一步都反着做那一步的运算。

用线段的长短表示数量，把“和/差/倍”翻译成一张可测量的图，复杂条件一眼可读。

两种浓度 / 单价混合，求比例时按“差对交叉写”：所求比 = 对方差值 : 本方差值。

把未知量写成比，再按比分配总量；遇到“倍”“占比”“比 a:b”都能直接用。

把未知量抽象成整数“份”，把复杂的倍数 / 分数关系简化成整数份的加减。

两圈相交要减重合；三圈相交要“加单、减双、加三”。

按某个顺序把所有可能性“走一遍”，保证不重不漏。

按关键特征把所有情况拆成互不重叠且覆盖全体的几类，逐类计算后相加。

把 n + 1 只鸽子塞进 n 个抽屉，一定有一个抽屉里有 ≥ 2 只；推广后用来证“至少有 k 个相同”。

分类相加，分步相乘。判断“分类”还是“分步”，是计数题的第一关。

用“上一步怎么办”写出公式，把未知规模的问题一层层推回已知的小规模。

必须相邻的对象先捆成一捆，再与其它人一起排，内部再做排列。

要求“不相邻”的对象最后插入，先把其它对象排好，再往“空隙”里放。

把 n 个相同的物品分给 k 个人，每人至少 1 个 → C(n−1, k−1)；可以为 0 → C(n+k−1, k−1)。

共角三角形面积比 = 夹该角的两邻边乘积之比；相等角或互补角都适用。

以面积为“中转货币”：把要求的长度 / 比例问题转化为面积等式。

在平行线之间平移顶点，三角形面积不变；用来“把难算的图形搬到好算的位置”。

四边形两条对角线分出的四块，对角相乘相等；梯形里的面积比等于上下底平方比。

平行线截三角形得沙漏/金字塔，对应边成比例，面积比 = 相似比的平方。

三角形内三线共点，分成的面积比 = 对应底边比；常用于三角形内部“枢纽点”问题。

直角三角形两直角边平方之和 = 斜边平方：a² + b² = c²。

把图形的一部分沿某方向平移，拼出规则图形或抵消阴影。

把一项拆成“相邻两项之差”，前后相消，长和瞬间折叠成头尾两项。

(a + b) × c = a × c + b × c；正反两用，是速算与巧算的主力工具。

一个 n 位数 = 各位数字 × 其位权之和；遇到“数字交换”或“数字约束”的题，必须从位值写起。

两个数除以 m 余数相同，记作 a ≡ b (mod m)。余数守加、守减、守乘——整除问题的万能语言。

常见小因数的整除规律：看尾数、看数字和、看奇偶位差——秒判能否整除。

每个合数都能唯一写成质数的乘积；求约数个数、公约数、最小公倍数的底层语言。

把数配成 10、100、1000 的整数倍，借助分配律/结合律让算式秒算。

等差数列求和：头尾两两配对，每对和相同，总和 = 对数 × 配对和。

把所有行（或列、对角线）的和累加起来，用“总和的总和”反求单元格之和。

三阶幻方的中心数 = 幻和 ÷ 3 = 所有数字平均值。

幻方里的数字常形成等差（或多个等差段）；用“首尾配对 + 平均值”一次性算出幻和与中心。

只看奇偶，不看数值。奇 + 奇 = 偶；奇 × 偶 = 偶；不变量一旦矛盾，题目即无解。

考虑“最差的情况”：要保证某事件发生，必须先跨过最差那道坎。常与抽屉原理联用。

找一个“无论怎么操作都不变”的量，当目标状态里这个量变了，就说明不可能达成。