方法手册
按模块收录小学奥数常用的解题方法与几何模型。点任意条目查看直观场景、推导与例题。
对应思想
盈亏 / 归一 / 分配等题里，把“每份多少”与“份数”一对一挂钩，让两组条件作差或作比。
十字交叉法
两种浓度 / 单价混合，求比例时按“差对交叉写”：所求比 = 对方差值 : 本方差值。
画图法
把抽象数量关系画成圆圈、线段、条形，让“多/少/倍”一眼可见。
方程法
用字母表示未知量，按题意列等式，把推理交给代数运算。
假设法
先假设一种极端情况，再按差额回退，把两类未知数拆成一次关系。
线段图法
用线段的长短表示数量，把“和/差/倍”翻译成一张可测量的图，复杂条件一眼可读。
整体代换
把反复出现的一段式子（或量）当作一个整体变量 t，把复杂关系压缩成对 t 的简单方程。
比例法
把未知量写成比，再按比分配总量；遇到“倍”“占比”“比 a:b”都能直接用。
逆向推理
从结果倒着走回起点：每一步都反着做那一步的运算。
份数法
把未知量抽象成整数“份”，把复杂的倍数 / 分数关系简化成整数份的加减。
加法原理
一件事可以按并列的几“类”独立完成时，类数相加就是总方案。
加乘原理
分类相加，分步相乘。判断“分类”还是“分步”，是计数题的第一关。
捆绑法
必须相邻的对象先捆成一捆，再与其它人一起排，内部再做排列。
分类讨论
按关键特征把所有情况拆成互不重叠且覆盖全体的几类，逐类计算后相加。
组合
从 n 个不同元素中无序地取 k 个的方法数：C(n, k) = n! ÷ (k! × (n − k)!) = A(n, k) ÷ k!。
枚举法
按某个顺序把所有可能性“走一遍”，保证不重不漏。
排除法
正面情况多而杂时，先算总数，再减去“不合要求”的反面——补集思维。
固定参照物法
环排 / 相对位置题里，固定其中一个对象消除“整体旋转”的重复计数，再把其余对象正常排列。
插空法
要求“不相邻”的对象最后插入，先把其它对象排好，再往“空隙”里放。
容斥原理
两圈相交要减重合；三圈相交要“加单、减双、加三”。
标数法
在网格 / 图的每个交点写上“从起点走到这里的路径数”，从起点逐格推到终点。
乘法原理
一件事必须按顺序完成若干“步”且各步独立时，各步方案数相乘就是总方案。
消序法
把“有顺序”的排列数除以“内部顺序数”，得到“无顺序”的组合数。
排列
从 n 个不同元素中按顺序取 k 个的方法数：A(n, k) = n × (n − 1) × … × (n − k + 1) = n! ÷ (n − k)!。
抽屉原理
把 n + 1 只鸽子塞进 n 个抽屉，一定有一个抽屉里有 ≥ 2 只；推广后用来证“至少有 k 个相同”。
递推法
用“上一步怎么办”写出公式，把未知规模的问题一层层推回已知的小规模。
特殊元素优先法
题目里带特殊条件的元素（有位置限制的人、有特殊要求的数字）先安排，剩下的再按普通方式排列。
隔板法
把 n 个相同的物品分给 k 个人，每人至少 1 个 → C(n−1, k−1)；可以为 0 → C(n+k−1, k−1)。
面积法
以面积为“中转货币”：把要求的长度 / 比例问题转化为面积等式。
鸟头模型
共角三角形面积比 = 夹该角的两邻边乘积之比；相等角或互补角都适用。
蝴蝶模型
四边形两条对角线分出的四块，对角相乘相等；梯形里的面积比等于上下底平方比。
等积变形
在平行线之间平移顶点，三角形面积不变；用来“把难算的图形搬到好算的位置”。
勾股定理
直角三角形两直角边平方之和 = 斜边平方：a² + b² = c²。
相似模型
平行线截三角形得沙漏/金字塔，对应边成比例，面积比 = 相似比的平方。
燕尾模型
三角形内三线共点，分成的面积比 = 对应底边比；常用于三角形内部“枢纽点”问题。
平移法
把图形的一部分沿某方向平移，拼出规则图形或抵消阴影。
二进制法
对于循环淘汰问题（如丢一张、移一张），找出不超过 n 的最大 2 的幂 2^m，答案 = 2 × (n - 2^m)。
同余
两个数除以 m 余数相同，记作 a ≡ b (mod m)。余数守加、守减、守乘——整除问题的万能语言。
平方差
a² − b² = (a + b)(a − b)：把平方之差立刻改写为一次乘积。
拼数极值
给定一组数字，要拆成两个数使乘积最大：先让两数的位数尽量接近，再用“最大两数字打头、之后每次把当前最大数字接到较小数末尾”的规则一次填完。
乘法分配律
(a + b) × c = a × c + b × c；正反两用，是速算与巧算的主力工具。
整除特征
常见小因数的整除规律：看尾数、看数字和、看奇偶位差——秒判能否整除。
分数比较
同分子比分母（小者大）；同分母比分子（大者大）；都不同则交叉相乘 ad ↔ bc，或与 1/2、1 比距离。
最大公约数
几个整数公有的约数中最大的那个。求法：质因数分解取“共有质因数的最小指数之积”，或用短除法。
首尾配对
等差数列求和：头尾两两配对，每对和相同，总和 = 对数 × 配对和。
最小公倍数
几个整数公有的倍数中最小的那个。求法：质因数分解取“所有质因数的最大指数之积”，或用短除法。
完全平方数
可以写成某个整数平方的数：1, 4, 9, 16, 25, …。等价刻画：所有质因数的指数都是偶数。
周期问题
找到循环节长度 T，用 n 除以 T 的余数定位第 n 项；余数为 0 时取一个完整周期的末项。
位值原理
一个 n 位数 = 各位数字 × 其位权之和；遇到“数字交换”或“数字约束”的题，必须从位值写起。
质因数分解
每个合数都能唯一写成质数的乘积；求约数个数、公约数、最小公倍数的底层语言。
倒数法
比较真分数大小或处理“工作效率/速度”问题时，把分数倒过来：a < b ⇔ 1/a > 1/b（同号）。
凑整法
把数配成 10、100、1000 的整数倍，借助分配律/结合律让算式秒算。
短除法
用一个共同的质因数依次去除所给的数，直到商两两互质；左侧所有除数之积即 gcd，左侧除数与底部商之积即 lcm。
作差法
把两组含有相同未知量的式子相减，让公共部分自动消去，直接得到差值或比例关系。
裂项
把一项拆成“相邻两项之差”，前后相消，长和瞬间折叠成头尾两项。
古典概型
所有基本结果机会均等且数量有限时，事件 A 的概率 = A 包含的结果数 ÷ 总结果数。
对立事件
“A 发生”与“A 不发生”互为对立事件，概率之和恰好为 1：P(A) + P(非 A) = 1。正面难数时，常改数“反面”。
条件概率
“在 B 已经发生的前提下，A 发生”的概率。记作 P(A | B) = P(A 且 B) ÷ P(B)。
期望值
把每个可能结果的“值”按概率加权求和，得到“长期平均收益”。E(X) = ∑ xᵢ × P(X = xᵢ)。
极端原理
把目标量推到极端：要让一个量取最大，就让其它量取最小；要让一个量取最小，就让其它量取最大。
几何概型
样本空间是连续的几何区域时，事件的概率 = 有利区域的“度量” ÷ 总区域的“度量”（长度、面积或角度的比值）。
独立事件
两事件互不影响时，称为独立。独立事件“同时发生”的概率等于各自概率之乘积：P(A 且 B) = P(A) × P(B)。
不变量
找一个“无论怎么操作都不变”的量，当目标状态里这个量变了，就说明不可能达成。
奇偶性
只看奇偶，不看数值。奇 + 奇 = 偶；奇 × 偶 = 偶；不变量一旦矛盾，题目即无解。
排列概率
样本空间和事件都是“排成一列 / 一圈”的排列方式时，用排列数计算 P(A) = 满足条件的排列数 ÷ 总排列数。
不放回抽样
抽出后不放回，下一次抽时总数和好结果数都会变。多次连抽用条件概率连乘：P(连续) = P(第一次) × P(第二次 | 第一次) × …
最不利原则
考虑“最差的情况”：要保证某事件发生，必须先跨过最差那道坎。常与抽屉原理联用。