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计算 / 数论#分数比较

分数比较

同分子比分母（小者大）；同分母比分子（大者大）；都不同则交叉相乘 ad ↔ bc，或与 1/2、1 比距离。

直观场景

同样大小的蛋糕分给不同人数，人少每块大；同样的份数比块数，块多更多。这两种“同”是最直接的比较；其他情况要先“变同”。

推导思路

  1. 同分子：a/b 与 a/c（a > 0），b 越大值越小。
  2. 同分母：a/b 与 c/b（b > 0），分子越大值越大。
  3. 交叉相乘：a/b 与 c/d（b, d > 0）等价比较 ad 与 bc；ad > bc ⇔ a/b > c/d。
  4. 与基准比距离：与 1/2、1、整数等容易比较的“锚点”比差，配合倒数法尤其有效。

公式 / 要点

  • 交叉相乘是化“分母不同”为“整数比较”的通法，但要保证两个分母都为正。
  • 对接近 1 的真分数，比 1 − a/b 更直观（差越小越接近 1）。

典型例题

1同分子
比较 7/9、7/13、7/11 的大小。
  1. 分子相同，分母越大值越小。
  2. 9 < 11 < 13，所以 7/9 > 7/11 > 7/13。
2交叉相乘
比较 5/8 与 7/11。
  1. 交叉相乘：5 × 11 = 55，7 × 8 = 56。
  2. 55 < 56，所以 5/8 < 7/11。
3与 1/2 比
比较 25/51 与 26/53。
  1. 两数都接近 1/2。25/51 与 1/2 的差 = (50 − 51) ÷ (2 × 51) = −1/102，差 1/102。
  2. 26/53 与 1/2 的差 = (52 − 53) ÷ (2 × 53) = −1/106，差 1/106。
  3. 1/102 > 1/106，所以 25/51 比 26/53 离 1/2 更远（更小），即 25/51 < 26/53。

小结：靠近某个简洁分数时，“比谁离它近”往往比硬通分更省力。

常见误区

  • 交叉相乘只在两个分母同号时成立；分母含负号时要先调正。
  • “分子大、分母也大”不能凭直觉断大小，必须真去比较。

用到「{entry.name}」的题目

#10057 分数比较大小·作差法
计算五年级
#10169 比较大小·通分法
计算五年级

相关知识点

倒数法