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隔板法

把 n 个相同的物品分给 k 个人，每人至少 1 个 → C(n−1, k−1)；可以为 0 → C(n+k−1, k−1)。

直观场景

n 个相同的球排一排，它们之间有 n − 1 个缝隙。要分给 k 个人，就相当于在这些缝隙里选 k − 1 个位置插“隔板”——隔板把球切成 k 堆，每堆分给一个人。

推导思路

  1. n 个球排成一排，共 n − 1 个空隙。
  2. 选 k − 1 个空隙插板：C(n − 1, k − 1) 种。
  3. 允许有 0：先给每人“借 1 个”，转为“每人至少 1”，规模变成 n + k 个球分 k 人每人至少 1。
  4. 结果：C(n + k − 1, k − 1)。

公式 / 要点

  • n 相同球分 k 人，每人 ≥ 1：C(n − 1, k − 1)。
  • 每人 ≥ 0：C(n + k − 1, k − 1)。

典型例题

1每人至少 1
10 个相同苹果分给 3 个小朋友，每人至少 1 个。多少种分法？
  1. C(10 − 1, 3 − 1) = C(9, 2) = 36。
2允许为 0
10 个相同苹果分给 3 个小朋友，可以有人一个都不拿。多少种？
  1. C(10 + 3 − 1, 3 − 1) = C(12, 2) = 66。

常见误区

  • 球必须“相同”才能用；不同物品不能用此公式。
  • “每人至少 m 个”也可以先借 m 再用。

用到“隔板法”的题目

#10062 分苹果·隔板法
计数五年级

相关知识点

捆绑法插空法