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几何#等积变形

等积变形

在平行线之间平移顶点，三角形面积不变；用来“把难算的图形搬到好算的位置”。

直观场景

把一个三角形的顶点沿着与底平行的直线左右滑动，底没变、高没变，面积自然也不变。这就是“等积变形”——不动的只是面积，图形却可以变得规整得多。

A 沿平行线滑到 A'：底与高不变，面积不变。

推导思路

  1. 1核心条件：存在一组平行线，顶点在其中一条上，底在另一条上。
  2. 2把顶点沿平行线平移，三角形面积不变。
  3. 3通过平移把阴影部分拼成一个容易计算的整体（如直角三角形、矩形）。

公式 / 要点

  • · 平行线之间的三角形，等底则等面积。
  • · 对角线、中线、中位线常见于等积变形构造。

典型例题

1中点等分
△ABC 中 D 是 BC 中点，则 S△ABD = S△ACD。
  1. 两个三角形同高（都是 A 到 BC 的距离）。
  2. 底 BD = DC（中点），面积相等。
2平移化简
梯形 ABCD（AB∥CD）中，对角线 AC 将其分成两个三角形，S△ABC 与 S△ACD 的关系如何？
  1. △ABC 以 AB 为底，高为两底之间距离 h。
  2. △ACD 以 CD 为底，高也为 h。
  3. 所以 S△ABC : S△ACD = AB : CD。

小结：平行四边形、梯形里对角线分出的两块，面积比就是两底之比。

常见误区

  • 必须存在平行线或等长底边，才能“等积”。

用到「等积变形」的题目

#10031 梯形面积·蝴蝶模型
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#10113 等积变换·三次取中点
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#10114 等积变换·正方形三等分点三角形
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#10115 等积变换·直角梯形内三角形（比例点）
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#10116 等积变换·两条边上的比例点
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#10117 等积变换·中线与比例交点
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#10120 共角三角形·平行四边形四角延伸
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#10122 共角模型·多级比例点综合
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