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计算 / 数论#平方差

平方差

a² − b² = (a + b)(a − b)：把平方之差立刻改写为一次乘积。

直观场景

两个正方形面积的差，可以把一个套在另一个里——多出的那一“L 形”正好是 (a + b) × (a − b)。一张图记住一辈子。

推导思路

  1. 1展开：(a + b)(a − b) = a² − ab + ab − b² = a² − b²。
  2. 2正用：两个相邻 / 相近平方数之差 = 和 × 差。
  3. 3反用：一个式子写成两平方之差后，立即提为一次乘积。

公式 / 要点

  • · a² − b² = (a + b)(a − b)。
  • · 两个连续整数平方之差 = 它们的和（因为 a − b = 1）。

典型例题

1速算
计算 101² − 99²。
  1. = (101 + 99)(101 − 99) = 200 × 2 = 400。
2因式分解
求 2024² − 2023²。
  1. = (2024 + 2023)(2024 − 2023) = 4047 × 1 = 4047。

小结：连续整数平方差 = 它们之和，心算即可。

3整除
证明 13² − 7² 能被 6 整除。
  1. 13² − 7² = (13 + 7)(13 − 7) = 20 × 6 = 120。
  2. 120 = 6 × 20，能被 6 整除。

常见误区

  • 只对“差”成立；a² + b² 没有类似的简单因式分解（实数范围内）。
  • 注意符号：别把 (a − b)(a + b) 写反。

用到「平方差」的题目

#10015 方阵问题·实心方阵
几何四年级
#10059 算式比较大小·拆项法
计算四年级

相关知识点

乘法分配律质因数分解