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计数#乘法原理

乘法原理

一件事必须按顺序完成若干“步”且各步独立时,各步方案数相乘就是总方案。

直观场景

穿衣服:先挑上衣 3 种,再挑裤子 4 种,两步都要完成才算“穿好”。每一件上衣都能搭配每一条裤子,组合数是 3 × 4 = 12。

推导思路

  1. 1完成一件事需要按顺序分 n 步。
  2. 2每步的选择互相独立,分别有 b₁, b₂, …, bₙ 种。
  3. 3总方案数 = b₁ × b₂ × … × bₙ。

公式 / 要点

  • · 关键词:“且”“分步”“依次”。
  • · 步与步必须独立,前一步的选择不影响后一步的方案数。

典型例题

1搭配
3 种上衣、4 种裤子、2 双鞋,一共能搭出多少套?
  1. 3 × 4 × 2 = 24 套。
2密码
4 位数字密码,每位 0–9 可重复,一共多少种?
  1. 10 × 10 × 10 × 10 = 10 000。

小结:每一位独立选择,乘法原理直接乘。

常见误区

  • 步不独立(例如不允许重复)时,后一步的方案数要相应减少。
  • 遇到“或”的情形不要乘,应改用加法。

用到「乘法原理」的题目

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