一道 / edao.plus
计数#加乘原理

加乘原理

分类相加，分步相乘。判断“分类”还是“分步”，是计数题的第一关。

直观场景

如果一件事可以分成几种情况独立完成 → 情况数相加；如果必须按顺序完成几步 → 每步的方案数相乘。一句话：OR 用加，AND 用乘。

推导思路

  1. 1加法原理：完成一件事有 n 类办法，每类分别有 a₁, a₂, …, aₙ 种，共 a₁ + a₂ + … + aₙ 种。
  2. 2乘法原理：完成一件事分 n 步，每步分别有 b₁, b₂, …, bₙ 种选择（步间独立），共 b₁ × b₂ × … × bₙ 种。

公式 / 要点

  • · 并列选择（或）→ 加。
  • · 依次确定（且）→ 乘。

典型例题

1纯加法
从甲地到乙地有 3 班汽车或 2 班火车可乘，共有多少种走法？
  1. “或”：两类方式并列。
  2. 3 + 2 = 5 种。
2纯乘法
早餐 3 种主食，4 种饮料，每种组合一次，共几种组合？
  1. “且”：两步依次选择。
  2. 3 × 4 = 12 种。
3混合
从 A 地到 B 地有 2 条路，从 B 地到 C 地有 3 条路；也可以从 A 直达 C 有 4 条。从 A 到 C 共几种走法？
  1. 经 B：2 × 3 = 6。
  2. 直达：4。
  3. 总数 6 + 4 = 10。

小结：外层分类加，内层分步乘——典型两层结构。

常见误区

  • 分类必须互斥、分步必须独立，否则会漏或重。

用到「加乘原理」的题目

#10006 棋盘上的线段·计数最值
计数六年级

相关知识点

枚举法容斥原理