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计算 / 数论#倒数法

倒数法

比较真分数大小或处理“工作效率/速度”问题时，把分数倒过来：a < b ⇔ 1/a > 1/b（同号）。

直观场景

把同样多的水分到 a 个杯子里，杯越多每杯越少。比较“每份多少”，就等价于比较“分成几份”——大小关系倒过来。

推导思路

  1. 若 a > b > 0，则 1/a < 1/b（正数取倒数大小关系反向）。
  2. 若 a 和 b 异号（一正一负），则 1/a 与 1/b 仍异号，比较时要先判正负，不可机械倒置。
  3. 工程问题：合作效率 = 1/T_总；个人效率 = 1/T_甲。比较“谁快”等价于比较“谁的工时倒数大”。

公式 / 要点

  • 倒数法的合法前提是同号：两个正数或两个负数。
  • “真分数比较”与“工作量与时间互换”是倒数法最常见的两种应用。

典型例题

1比较真分数
比较 10/11 与 100/101 的大小。
  1. 两数都接近 1，难以直接看出。考察它们与 1 的差：1 − 10/11 = 1/11，1 − 100/101 = 1/101。
  2. 1/11 > 1/101（分母大反而小），所以 10/11 离 1 更远。
  3. 因此 10/11 < 100/101。
2效率倒数
一项工程，甲单独做 12 天完成，乙单独做 18 天完成。两人合作几天完成？
  1. 甲每天效率 = 1/12，乙每天效率 = 1/18。
  2. 合作每天效率 = 1/12 + 1/18 = 3/36 + 2/36 = 5/36。
  3. 合作时间 = 1 ÷ (5/36) = 36/5 = 7.2 天。

小结：“工作时间”和“工作效率”互为倒数，是工程题的核心套路。

常见误区

  • 异号或包含 0 时不能直接“倒过来”——0 没有倒数，负数倒置后符号不变但大小关系要重新判断。
  • “真分数比较”的倒数法常配合“与 1 比差”使用，单纯倒数未必最直观。

用到「{entry.name}」的题目

#10057 分数比较大小·作差法
计算五年级
#10153 工程问题·合作效率
应用题五年级

相关知识点

分数比较