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计算 / 数论#周期问题

周期问题

找到循环节长度 T，用 n 除以 T 的余数定位第 n 项；余数为 0 时取一个完整周期的末项。

直观场景

钟表 12 小时一圈、星期 7 天一循环、月相约 30 天一轮——只要某个序列每过 T 步就回到原样，就能用余数把第 n 项的问题缩回到第 r 项。

推导思路

  1. 写出前若干项，观察从哪一项开始重复，得到循环节长度 T。
  2. 计算 n ÷ T = q ⋯ r。
  3. 若 r ≠ 0，第 n 项 = 第 r 项；若 r = 0，第 n 项 = 第 T 项（恰好走完整数个周期）。

公式 / 要点

  • 余数 0 对应循环节的最后一项，不是第 0 项。
  • 若开头有“前导段”不参与循环，先减去前导长度，再对剩下的部分取模。

典型例题

1字母循环
字母 A、B、C、D、E 反复排列：ABCDEABCDE…，第 2024 个字母是？
  1. 循环节长度 T = 5。
  2. 2024 ÷ 5 = 404 ⋯ 4，余数为 4。
  3. 第 4 个字母是 D，所以第 2024 个字母是 D。
2末位数字
求 7^100 的个位数字。
  1. 7 的幂个位依次为 7, 9, 3, 1, 7, 9, 3, 1, …，循环节长度 4。
  2. 100 ÷ 4 = 25 ⋯ 0，余数为 0，取循环节末项。
  3. 末项是 1，所以 7^100 的个位是 1。

小结：求幂的末位、末两位都常用周期 + 取模。

常见误区

  • 先判断循环是否“立即开始”：日历、跑道这类一上来就循环；有些数列前几项是过渡段，要剥离。
  • 题干说的“第几个”有时是从 0 开始，有时是从 1 开始，对齐编号再取余。

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