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计算 / 数论#最小公倍数

最小公倍数

几个整数公有的倍数中最小的那个。求法：质因数分解取“所有质因数的最大指数之积”，或用短除法。

直观场景

两个齿轮齿数不同，第一次回到“同一个起始位”所转过的总齿数就是 lcm；同样，多个红绿灯第一次同时变绿的时间也是 lcm。

推导思路

  1. 质因数分解：lcm(a, b) = p₁^max(α₁,β₁) · p₂^max(α₂,β₂) · …。
  2. 短除法：与求 gcd 同步进行，把左侧除数与最后剩下的两个互质数全部相乘，得到 lcm。
  3. 恒等式：lcm(a, b) = a × b ÷ gcd(a, b)，先求 gcd 再求 lcm 通常更省力。

公式 / 要点

  • lcm 取“所有质因数的最大指数”；gcd 取“共有质因数的最小指数”。
  • 若 a | b，则 lcm(a, b) = b；若互质，lcm(a, b) = a × b。

典型例题

1用恒等式求 lcm
求 lcm(24, 36)。
  1. gcd(24, 36) = 12。
  2. lcm(24, 36) = 24 × 36 ÷ 12 = 72。
2再次相遇
甲、乙两人绕同一环形跑道跑步。甲跑一圈要 48 秒，乙跑一圈要 60 秒。两人同时同地出发，多少秒后第一次在起点同时相遇？
  1. 需要找“甲的整数圈用时”与“乙的整数圈用时”的最早交汇。
  2. 时间 = lcm(48, 60) = 240 秒。
  3. 也就是 4 分钟。

小结：“同时再回到同一状态”这类问题就是在求 lcm。

常见误区

  • “最小公倍数”不是“最小的倍数”——任何数最小的倍数是它本身，公倍数才是关键。
  • 三数 lcm 可两两递推：lcm(a, b, c) = lcm(lcm(a, b), c)。

用到「{entry.name}」的题目

#10043 最大公约数·短除模型
数论五年级

相关知识点

最大公约数短除法整除特征