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几何#相似模型

相似模型

平行线截三角形得沙漏/金字塔，对应边成比例，面积比 = 相似比的平方。

直观场景

把三角形“压扁”或“放大”，只要角不变，它就只是自己的缩放版。用平行线一截，大三角套小三角（金字塔），或上下倒置（沙漏），边比立刻抄出来。

金字塔型：DE∥BC，△ADE ∽ △ABC。

推导思路

  1. 1平行于三角形某边的直线，截得的小三角形与原三角形相似。
  2. 2对应边比 = 相似比 k。
  3. 3对应面积比 = k²。

公式 / 要点

  • · 金字塔型（A 字）：小三角在大三角内部，共顶点。
  • · 沙漏型（X 字）：两三角形顶点相对，平行线在中间。
  • · 相似比 k → 面积比 k²，体积比 k³。

典型例题

1金字塔
△ABC 中，DE∥BC，AD:DB = 2:3。S△ABC = 50，求 S△ADE。
  1. AD:AB = 2:5，相似比 k = 2/5。
  2. 面积比 = (2/5)² = 4/25。
  3. S△ADE = 50 × 4/25 = 8。
2沙漏
梯形 ABCD（AB∥CD）对角线交于 O，AB = 3，CD = 5。S△AOB = 9，求 S△COD。
  1. △AOB ∼ △COD（沙漏型），相似比 = 3:5。
  2. 面积比 = 9:25，S△COD = 9 × 25/9 = 25。

常见误区

  • 对应面积比是相似比的平方，不要漏掉“平方”。
  • 先证相似（通常靠平行线），再用比例。

用到「相似模型」的题目

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