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计数#捆绑法

捆绑法

必须相邻的对象先捆成一捆,再与其它人一起排,内部再做排列。

直观场景

题目要求“甲乙必须相邻”——那就用一根橡皮筋把他俩捆在一起,视为“一个人”,等排好之后再解开,让橡皮筋里的甲乙自己换位置。

推导思路

  1. 1把必须相邻的 k 个对象看作一个整体,与其余 n − k 个对象一起排列,共 (n − k + 1)! 种。
  2. 2这个整体内部还能相互换位置,贡献 k! 种。
  3. 3答案 = (n − k + 1)! × k!。

公式 / 要点

  • · 相邻 → 捆绑。
  • · 别忘了内部还要乘 k!。

典型例题

1必须相邻
5 个人排成一排,甲乙必须相邻。共有多少种排法?
  1. 把甲乙捆为一个“合体”,与其余 3 人共 4 个对象排列:4! = 24。
  2. 甲乙内部有 2! = 2 种顺序。
  3. 共 24 × 2 = 48 种。

常见误区

  • 多于两个人相邻时,捆内排列是 k! 不是 2。

用到「捆绑法」的题目

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