一道+ / edao.plus
通用思想#独立事件

独立事件

两事件互不影响时，称为独立。独立事件“同时发生”的概率等于各自概率之乘积：P(A 且 B) = P(A) × P(B)。

直观场景

掷两枚骰子，一枚的点数对另一枚没有任何影响——这就是“独立”。把两步动作的概率分别求好，再相乘，就是“两步都成功”的概率。

推导思路

  1. 若 A 的发生不改变 B 的发生概率，则 A、B 独立，P(A | B) = P(A)。
  2. 对独立事件，乘法原理直接迁移到概率：P(A 且 B) = P(A) × P(B)。
  3. 扩展到 n 个独立事件：P(A₁ 且 A₂ 且 … 且 Aₙ) = P(A₁) × P(A₂) × … × P(Aₙ)。

公式 / 要点

  • “独立”不是“互斥”——独立事件可以同时发生；互斥事件不可能同时发生。
  • 重复掷一枚骰子、有放回地抽球——典型的独立场景；不放回抽球则不独立。

典型例题

1两枚骰子之和
掷两枚均匀的骰子，求两枚骰子点数之和为 8 的概率。
  1. 总样本数 = 6 × 6 = 36（两枚独立各 6 种）。
  2. 和为 8 的有：(2,6)、(3,5)、(4,4)、(5,3)、(6,2)，共 5 种。
  3. P = 5 ÷ 36。
2连掷正面
连续掷一枚均匀硬币 3 次，求 3 次都是正面的概率。
  1. 每次正面的概率 = 1/2，三次独立。
  2. P = (1/2) × (1/2) × (1/2) = 1/8。

小结：“连续多次都成功”是乘法的最常见场景。

常见误区

  • 不放回抽样不独立，不能直接相乘——要改用条件概率。
  • “独立”是题目对场景的设定，不能凭直觉断定，必须由题意保证。

用到「{entry.name}」的题目

#10145 连续抛硬币·独立事件
计数六年级
#10146 连续掷骰子·至少一次
计数六年级
#10182 概率进阶·独立事件
计数六年级

相关知识点

古典概型对立事件条件概率