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首尾配对

等差数列求和：头尾两两配对，每对和相同，总和 = 对数 × 配对和。

直观场景

1 + 2 + 3 + … + 100 写成两排，一排顺、一排倒：1 + 100，2 + 99，…每对都是 101。共 50 对，于是总和 = 50 × 101 = 5050。这就是高斯小时候用的配对法。

推导思路

  1. 等差数列 a₁, a₂, …, aₙ（公差 d）。
  2. 首尾 a₁ + aₙ 与 a₂ + a_{n-1} 都等于 a₁ + aₙ（对称性）。
  3. 共 n/2 对，总和 = n × (a₁ + aₙ) / 2。

公式 / 要点

  • 等差数列求和公式：S = n × (首 + 末) ÷ 2。
  • 项数 n = (末 − 首) / d + 1。

典型例题

1连续整数
1 + 2 + … + 100 = ?
  1. S = 100 × (1 + 100) / 2 = 5050。
2等差有公差
3 + 7 + 11 + … + 99 = ?
  1. 项数 n = (99 − 3)/4 + 1 = 25。
  2. S = 25 × (3 + 99) / 2 = 1275。

常见误区

  • 项数要用公式算清楚，不能数手指。

用到“首尾配对”的题目

#10088 四阶幻方·1 到 16 填 4×4
杂题四年级
#10090 六阶幻方·幻和求值
杂题五年级

相关知识点

等差数列法裂项