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计数#特殊元素优先法

特殊元素优先法

题目里带特殊条件的元素（有位置限制的人、有特殊要求的数字）先安排，剩下的再按普通方式排列。

直观场景

排队时如果“老师必须站中间”，不如先把老师放好，其他同学随意排。先处理约束最强的对象，剩下的自由度就不会再被牵扯。

推导思路

  1. 1识别题目里受约束最强的元素（位置固定、只能在某几位、必须与谁相邻等）。
  2. 2先把这些元素放到允许的位置上，数它们的方案数。
  3. 3剩下位置和剩下元素之间按普通乘法 / 排列组合处理。
  4. 4总方案 = 特殊部分 × 剩余部分。

公式 / 要点

  • · “先难后易”——约束多的先安排。
  • · 常与捆绑法 / 插空法串联使用。

典型例题

1限定位置
5 个人排成一排，甲必须站在正中间。多少种排法？
  1. 甲先放：中间 1 种。
  2. 其余 4 人任意排 4 位置：4! = 24。
  3. 总 1 × 24 = 24。
2首位限制
用 0, 1, 2, 3, 4 组成不同的三位数，首位不能是 0，多少个？
  1. 首位先选：0 除外共 4 种。
  2. 剩下两位从剩 4 个数字中排：A(4, 2) = 12。
  3. 4 × 12 = 48。

小结：首位 = 最特殊元素，必须最先定。

常见误区

  • 特殊元素之间还可能互相影响，先放时要一并讨论互斥情形。

用到「特殊元素优先法」的题目

#10063 数字组数·特殊位置优先法
计数五年级

相关知识点

加乘原理捆绑法插空法