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通用思想#对立事件

对立事件

“A 发生”与“A 不发生”互为对立事件，概率之和恰好为 1：P(A) + P(非 A) = 1。正面难数时，常改数“反面”。

直观场景

考“至少有一次中奖”这种问题，正面数“恰一次 + 恰两次 + …”非常累；反面只有“一次都没中”一种情形，一减就好。

推导思路

  1. 对任意事件 A，A 与“非 A”覆盖了样本空间且互不重叠：P(A) + P(非 A) = 1。
  2. 因此 P(A) = 1 − P(非 A)。
  3. “至少 …”问题的对立常常是“一次都不 …”，后者用独立事件的乘法即可一气算完。

公式 / 要点

  • “对立”覆盖样本空间且互斥；“互斥”只是不重叠，未必对立。
  • “至少一次发生”↔“一次都不发生”是对立事件最常见的转化模板。

典型例题

1至少有一次中奖
某抽奖每次中奖概率为 1/3，独立抽 3 次。求“至少中一次”的概率。
  1. 对立事件“一次都没中”：每次不中 = 2/3，三次独立 = (2/3)³ = 8/27。
  2. P(至少一次) = 1 − 8/27 = 19/27。
2至少出现一次 6
掷 4 次均匀骰子，求至少出现一次 6 点的概率。
  1. 对立事件“四次都不是 6”：每次概率 5/6，四次相乘 = (5/6)⁴ = 625/1296。
  2. P = 1 − 625/1296 = 671/1296。

小结：“至少一次”与“一次都不”互为对立，几乎是固定套路。

常见误区

  • 对立事件的反面只有一种情形；如果反面也是“多个并列情形”，往往不比正面省力。
  • 分清“对立”和“互斥”：互斥不一定加起来等于 1。

用到「{entry.name}」的题目

#10146 连续掷骰子·至少一次
计数六年级
#10147 摸球放回·条件概率
计数六年级

相关知识点

独立事件古典概型