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幻方#试填法

试填法

在候选集合很小、约束很紧时，按顺序试一个数、推一步，冲突就回退——幻方的兜底通法。

直观场景

当 “累加 / 中心数 / 比较” 都用完仍然剩下两三个格子时，候选数通常只剩三四个。直接按从小到大试一遍，把矛盾及早暴露，正确填法自然浮出来。

推导思路

  1. 1先用“累加法”定幻和、“中心数法”定中心，尽量缩小可填集合。
  2. 2挑“约束最多的格子”开始试（行、列、对角三线都经过它的格优先）。
  3. 3假设该格取某个候选值，按幻和往下推一步。
  4. 4出现矛盾就回退，换下一个候选；全部候选都不行说明前一步错。

公式 / 要点

  • · 先定幻和，再试值——顺序很重要。
  • · 优先填“三线交汇”的格子，剪枝最狠。

典型例题

1角落试值
3×3 幻方用 1–9 填，已知中心为 5。左上角可以是哪几个？
  1. 幻和 15。左上角在“行 + 列 + 对角”三条线上，约束最强。
  2. 设左上 = a，则右下 = 10 − a（过中心的对角）。
  3. 试 a = 1：右下 = 9，矛盾不出现；a = 9, 3, 7 同理可行。
  4. a = 2, 4, 6, 8 不能放角（可验证它们只能放边中）。
  5. 所以角上只能是 1, 3, 7, 9。

小结：试填时结合“对角互补”等已有规律，能极大减少分支。

常见误区

  • 不做剪枝就硬试，分支爆炸；务必先用幻和缩小集合。
  • 回退时记得恢复之前填入的格子，避免状态串味。

用到「试填法」的题目

#10093 4×4 拉丁方·补全
杂题四年级

相关知识点

累加法中心数法比较法