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计算 / 数论#位值原理

位值原理

一个 n 位数 = 各位数字 × 其位权之和；遇到“数字交换”或“数字约束”的题，必须从位值写起。

直观场景

数字 “234” 不是 “2、3、4 三个符号”，而是 2 × 100 + 3 × 10 + 4 × 1。把数字拆开按位权加权，题目里的“十位是什么”“交换前后”瞬间就有代数表达。

推导思路

  1. 1三位数 abc = 100a + 10b + c（a, b, c 为数字，1 ≤ a ≤ 9）。
  2. 2数字交换：交换后新数 − 原数 = 位值差 · 数字差。
  3. 3带约束的“寻数”题，通常列出位值表达，再用整除 / 奇偶分析逐位确定。

公式 / 要点

  • · 两位数 ab 翻转后减原数 = 9(b − a)。
  • · 三位数百位与个位交换，差 = 99(c − a)。

典型例题

1数字交换
一个两位数，交换十位与个位后比原数大 36。原数十位与个位差多少？
  1. 设原数为 10a + b，交换后 10b + a。
  2. (10b + a) − (10a + b) = 9(b − a) = 36，b − a = 4。
2三位数重组
一个三位数的百位、十位、个位分别为 a, b, c。把它倒过来写成三位数（c, b, a），原数与新数之差是多少？
  1. 原数 = 100a + 10b + c，新数 = 100c + 10b + a。
  2. 原数 − 新数 = 99a − 99c = 99(a − c)。
  3. 结论：差值一定是 99 的倍数，与十位无关。

小结：位值展开后，数字的加减立刻对应到“位权 × 数字差”，中间位常常消掉。

常见误区

  • 首位数字不能为 0。
  • 写成位值后别忘了数字本身的取值范围（0–9）。

用到「位值原理」的题目

#10039 数字计数·含特定数字
计数五年级

相关知识点

同余