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极端原理

把目标量推到极端：要让一个量取最大，就让其它量取最小；要让一个量取最小，就让其它量取最大。

直观场景

一锅汤要让一勺尽量满，剩下的勺就只能浅浅几口；要让某一格放得最多，其它格就只能放最少。把“最值”问题转化成“边界状态”问题，往往一眼看穿答案。

推导思路

  1. ① 写出题目对每个变量的硬约束（如下界、上界、和等于某值）。
  2. ② 取目标变量为最大（或最小），把其它变量推到它们的下界（或上界）。
  3. ③ 用约束方程反推目标变量的极值。
  4. ④ 验证“被推到极端的取值”是否真的合法（不违反整数、个数、非负等隐含条件）。

公式 / 要点

  • “让其它最小→自己最大；让其它最大→自己最小”是极端原理的对偶口诀。
  • 极端原理常和最不利原则配合使用：前者求“能达到的最值”，后者求“至少需要多少”。

典型例题

1盒中放最多
把 30 个苹果放入 6 个篮子中，每个篮子至少放 2 个苹果。要使某一个篮子中的苹果数尽可能多，最多能放多少个？
  1. 目标：让“最多的那个篮子”尽量大。
  2. 其它 5 个篮子推到下限：每个最少 2 个，共 5 × 2 = 10 个。
  3. 目标篮子 = 30 − 10 = 20 个。

小结：“一边最大 = 其它最小”这句话直接给出答案。

2得分极端
5 名同学参加比赛，每人得分不同的正整数，总分为 50。问得分最高的同学最多得多少分？
  1. 其它 4 人取最小：必须互不相同的正整数，最小为 1、2、3、4，共 10 分。
  2. 最高者 = 50 − 10 = 40 分。
  3. 验证：40, 4, 3, 2, 1 互不相同且为正整数，合法。

常见误区

  • 把“其它取最小”取得过分（如取 0 或负数），违反隐含的“正整数 / 互不相同 / 至少几个”约束。
  • 极端值有时不可达，需要验证“极端配置”是否真的满足全部条件，否则只能取最接近的合法值。

用到“极端原理”的题目

#10179 最值问题·极端原理
杂题六年级
#10193 拼数乘积最大·五数字分组
数论五年级

相关知识点

不变量