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几何#勾股定理

勾股定理

直角三角形两直角边平方之和 = 斜边平方：a² + b² = c²。

直观场景

在直角三角形外画三个正方形，分别以三边为边长。两条直角边上的两个正方形面积加起来，正好等于斜边上的正方形面积。

两直角边上正方形之和 = 斜边上正方形：a² + b² = c²。

推导思路

  1. 1直角三角形两直角边为 a, b，斜边为 c。
  2. 2面积法证法：四个相同直角三角形拼出大正方形，中间留出一个小正方形，面积关系即得 a² + b² = c²。

公式 / 要点

  • · 常见勾股数：3-4-5，5-12-13，6-8-10，7-24-25，8-15-17，9-40-41。
  • · c = √(a² + b²)；反过来给 c, a 求 b = √(c² − a²)。

典型例题

1求斜边
直角三角形两直角边长为 6 和 8。斜边多长？
  1. c² = 6² + 8² = 100，c = 10。
2求直角边
斜边 13，其中一条直角边为 5。另一条多长？
  1. b² = 13² − 5² = 169 − 25 = 144，b = 12。

常见误区

  • 仅适用于直角三角形；有直角才能用。
  • 使用前要分清哪条是斜边（最长的那条）。

用到「勾股定理」的题目

#10006 棋盘上的线段·计数最值
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