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几何#蝴蝶模型

蝴蝶模型

四边形两条对角线分出的四块，对角相乘相等；梯形里的面积比等于上下底平方比。

直观场景

任意四边形被两条对角线分成四个小三角形，像蝴蝶的四只翅膀。对角两块（上翅与下翅）面积之积 = 另一对角两块之积——蝴蝶左右配对。

对角相乘相等：S₁·S₃ = S₂·S₄。

推导思路

  1. 1设对角线交于 O，四块面积记作 S₁（左）、S₂（上）、S₃（右）、S₄（下）。
  2. 2△左与△上同高（O 到对应顶点的垂距），面积比 = 两底比；另两组同理。
  3. 3整理得到 S₁ × S₃ = S₂ × S₄。
  4. 4梯形（AB∥CD）特例：四块按“上:下 = AB² : CD²”分布。

公式 / 要点

  • · 任意四边形：S₁ × S₃ = S₂ × S₄。
  • · 梯形：S△AOB : S△COD = AB² : CD²；两腰三角形面积相等。

典型例题

1梯形对角线
梯形 ABCD 中 AB∥CD，对角线交于 O，S△AOB = 25，S△BOC = 35。求梯形面积。
  1. S△AOD = S△BOC = 35（两腰三角形面积相等）。
  2. 由 S△AOB × S△COD = S△BOC × S△AOD：25 × S△COD = 35 × 35，S△COD = 49。
  3. 总面积 = 25 + 35 + 35 + 49 = 144。
2任意四边形
四边形被两条线分成四块，其中三块面积为 20、25、30。求第四块。
  1. 按对角乘积相等：若 20 与第四块为对角，则 20 × S = 25 × 30，S = 37.5。
  2. 根据题目具体位置判断哪两块是对角。

小结：先判“谁和谁对角”，再套 S₁·S₃ = S₂·S₄。

常见误区

  • 必须分清哪两块是“对角”，别把相邻块相乘。
  • 梯形特例只在两边平行的四边形里成立。

用到「蝴蝶模型」的题目

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