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计数#固定参照物法

固定参照物法

环排 / 相对位置题里，固定其中一个对象消除“整体旋转”的重复计数，再把其余对象正常排列。

直观场景

n 个人围圆桌坐，谁坐在哪个椅子并不重要，关键是“谁在谁的左右”。把其中一人“钉”在固定位置，整圈的旋转重复自然消失，剩下 n − 1 人线性排即可。

推导思路

  1. 1n 个对象做环形排列，整体旋转视为同一种，共有 n! / n = (n − 1)! 种。
  2. 2做法：任选一人固定位置，其余 n − 1 人做直线排列 (n − 1)!。
  3. 3若圆桌“翻转后”也视为同一种（如项链），再除以 2。

公式 / 要点

  • · 环排方案 = (n − 1)!。
  • · 项链 / 手链这类双面等价的环，再除 2。

典型例题

1圆桌
5 人围圆桌而坐，多少种不同坐法？
  1. 固定一人，其余 4 人排：4! = 24。
2环形相邻
5 人围圆桌，甲乙必须相邻，多少种？
  1. 把甲乙先捆在一起视为一个“合体”，相当于 4 个对象做环排：(4 − 1)! = 6。
  2. 甲乙内部 2! = 2。
  3. 共 6 × 2 = 12。

小结：“固定参照物”与“捆绑法”在环排里常常连用。

常见误区

  • 区分“环形”和“直线”：环比直线少 n 倍的重复。
  • 别忘了项链类问题可能还要再除以 2。

用到「固定参照物法」的题目

#10068 环形排列·圆桌就座
计数六年级

相关知识点

捆绑法插空法加乘原理