一道+ / edao.plus

奇偶性

只看奇偶，不看数值。奇 + 奇 = 偶；奇 × 偶 = 偶；不变量一旦矛盾，题目即无解。

直观场景

棋盘上马每走一步颜色必换；硬币翻偶数次总是恢复原状。这些都是“奇偶性”作为不变量在说话：不管怎么操作，某个奇偶身份不变。

推导思路

  1. 加法：奇 + 奇 = 偶；偶 + 偶 = 偶；奇 + 偶 = 奇。
  2. 乘法：含一个偶数，结果就是偶；全是奇数才得奇。
  3. 解题套路：① 找一个量的奇偶性；② 证明每步操作不改变它；③ 若目标状态奇偶性不同，则无法达成。

公式 / 要点

  • n 个奇数之和的奇偶 = n 的奇偶。
  • 找不变量时，常见选择：总和、差、个数的奇偶。

典型例题

1能否正好分配
能否把 1 到 9 分成两组，使每组和相等？
  1. 1 + 2 + … + 9 = 45，是奇数。
  2. 若两组和相等，总和必须为偶数。
  3. 矛盾，故不能。
2翻硬币
桌上 7 枚硬币全部正面朝上。每次必须同时翻动 2 枚。能否经若干次操作后，全部反面朝上？
  1. 记“正面朝上的硬币数”为 N，初始 N = 7（奇）。
  2. 每次翻 2 枚：N 变化 ±2 或 0，奇偶性不变，始终奇数。
  3. 目标 N = 0（偶），与奇数矛盾，不可能。

小结：“每步操作对某量的奇偶影响是固定的”就是奇偶不变量证明的核心。

常见误区

  • 先检查“奇偶是否真的不变”，不是所有操作都保奇偶。
  • 奇偶只能证“不行”，不能直接证“一定行”。

用到“奇偶性”的题目

#10040 奇偶性·翻杯子
数论三年级
#10084 棋盘骨牌覆盖·对角缺口
杂题六年级
#10110 相邻差约束圆阵·1 到 7
杂题五年级
#10186 奇偶性·操作可行性
数论五年级

相关知识点

容斥原理