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计算 / 数论#裂项

裂项

把一项拆成“相邻两项之差”，前后相消，长和瞬间折叠成头尾两项。

直观场景

一列看似很长的加法，如果每一项都能写成“下一项 − 这一项”的差，那一连串加法就会像多米诺一样前后抵消，只留下最前和最后的两小块。

推导思路

  1. 1寻找形如 1 / [k(k+1)] = 1/k − 1/(k+1) 的拆分结构。
  2. 2把每一项都按这种方式拆开。
  3. 3相邻项相消，只剩首尾。

公式 / 要点

  • · 1 / [k(k+1)] = 1/k − 1/(k+1)。
  • · 1 / [k(k+d)] = (1/d) · (1/k − 1/(k+d))。
  • · k / [(k)(k+1)!] 类也常见，思路一致。

典型例题

1经典分数和
求 1/(1·2) + 1/(2·3) + 1/(3·4) + … + 1/(99·100)。
  1. 每项 1/(k(k+1)) = 1/k − 1/(k+1)。
  2. 原式 = (1 − 1/2) + (1/2 − 1/3) + … + (1/99 − 1/100)。
  3. 相消后 = 1 − 1/100 = 99/100。
2带步长
1/(1·3) + 1/(3·5) + … + 1/(99·101)。
  1. 1/(k(k+2)) = (1/2)(1/k − 1/(k+2))。
  2. 原式 = (1/2) · [(1/1 − 1/3) + (1/3 − 1/5) + … + (1/99 − 1/101)]。
  3. = (1/2)(1 − 1/101) = 50/101。

小结：公差不是 1 时，前面要加“1 / 公差”作为系数。

常见误区

  • 先验证每项真的能拆成相邻差；不要乱拆。

用到「裂项」的题目

#10028 计算·分数裂项
计算六年级
#10059 算式比较大小·拆项法
计算四年级

相关知识点

乘法分配律