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应用题#整体代换

整体代换

把反复出现的一段式子（或量）当作一个整体变量 t，把复杂关系压缩成对 t 的简单方程。

直观场景

题目里如果一块相同的表达式不断出现，盯着它的内部细节反而会乱。干脆给它起个名字 t，整个世界瞬间变成“只关于 t”的题目，解出 t 之后再回代。

推导思路

  1. 1识别反复出现的相同子式或相同数量。
  2. 2令这个整体 = t，其它部分用 t 表达。
  3. 3在新的简单方程 / 等式里解出 t。
  4. 4回代还原原来的未知量。

公式 / 要点

  • · “整体”可以是多项、可以是比、也可以是“两人距离”“共同时间”等物理量。
  • · 代换前后单位和含义要一致。

典型例题

1数列代换
若 a + b + c = 10，求 (a + b + c)² − 2(a + b + c) 的值。
  1. 令 t = a + b + c = 10。
  2. 原式 = t² − 2t = 100 − 20 = 80。
2工程问题
甲乙合作 12 天完成，甲单独做 20 天完成。设全工程为 1，乙单独做几天完成？
  1. 把“全工程”当整体 1：甲效率 1/20，合作效率 1/12。
  2. 乙效率 = 1/12 − 1/20 = (5 − 3)/60 = 2/60 = 1/30。
  3. 乙单独做 1 ÷ 1/30 = 30 天。

小结：工程 / 行程题里常把“总工作量 / 总路程”设为 1 做整体代换。

常见误区

  • 代换后必须把所有出现的同一子式都替换干净，漏替会出错。
  • 代换变量的取值范围别忘了回到原题检查。

用到「整体代换」的题目

#10002 奇异动物聚会·多元消元
应用题五年级
#10098 十字阵·双和值约束
杂题五年级

相关知识点

方程法比例法