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计数#分类讨论

分类讨论

按关键特征把所有情况拆成互不重叠且覆盖全体的几类,逐类计算后相加。

直观场景

遇到“看情况”的题,与其正面硬算,不如把“情况”明确切开:每类内部规则统一,整体加起来就是答案。关键是分类要做到“互斥 + 穷举”。

推导思路

  1. 1识别决定答案形式的“关键属性”(如奇偶、大小、位置)。
  2. 2按这个属性把所有情况拆成若干类,确保两两不重、合起来不漏。
  3. 3每类单独算数量或结果。
  4. 4汇总:通常是求和。

公式 / 要点

  • · 互斥(不重)+ 穷举(不漏)是分类的两条红线。
  • · 好分类 = 每类内部结构一致,便于统一计算。

典型例题

1数字问题
100 以内有多少个数含数字 3?
  1. 按“3 出现在哪一位”分类(互斥地计数,最后去重):
  2. 个位是 3:3, 13, 23, …, 93,共 10 个。
  3. 十位是 3:30, 31, …, 39,共 10 个。
  4. 同时两位都是 3 的:33,被算了 2 次。
  5. 合计 10 + 10 − 1 = 19 个。

小结:分类后发现“交集”再用容斥修正,是常见组合。

常见误区

  • 分类标准不清晰会导致漏/重;交集一定要检查。

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