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几何概型

样本空间是连续的几何区域时，事件的概率 = 有利区域的“度量” ÷ 总区域的“度量”（长度、面积或角度的比值）。

直观场景

把转盘均分成 8 格，红色占 3 格——指针停在红色的概率就是 3/8，与“格的角度”成正比。在直线、平面或圆周上的“随机一点”问题，都能用这条比例式直接读出来。

推导思路

  1. 明确样本空间的几何度量：1D 用长度，2D 用面积，圆周用弧长或角度。
  2. 找出“事件 A”对应的子区域，用同种度量量出来。
  3. P(A) = 子区域度量 ÷ 总区域度量。
  4. 前提：每个点等可能被取到（“均匀”随机），否则不能用这种比例。

公式 / 要点

  • 几何概型把“数结果”换成了“量度量”，公式形式与古典概型一致：好 ÷ 总。
  • 1D 比长度、2D 比面积、圆周比弧长（或夹角），度量一定要同种。

典型例题

1转盘指针
一个圆形转盘平均分成 8 个相等的扇形，其中 3 个红色、5 个蓝色。转动转盘，求指针停在红色区域的概率。
  1. 圆周等分 8 份，每份 45°。红色区域共 3 份。
  2. P = 3 ÷ 8。
2等公交
公交每 10 分钟一班，乘客随机到达车站。求乘客等待时间不超过 3 分钟的概率。
  1. 样本空间：到达时刻在一个周期内均匀分布，长度 10 分钟。
  2. 好结果：到达时刻落在“下一班车前 3 分钟”内，长度 3 分钟。
  3. P = 3 ÷ 10。

小结：“等待时间 ≤ t” 这类题就是 1D 几何概型的标准模型。

常见误区

  • “均匀随机”是几何概型的前提，若分布偏倚就不能套比例公式。
  • 1D / 2D 度量要选对：在面上求“随机一点”的概率不能用长度比。

用到“几何概型”的题目

#10149 转盘指针·几何概型
计数六年级

相关知识点

古典概型