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计数#排列

排列

从 n 个不同元素中按顺序取 k 个的方法数：A(n, k) = n × (n − 1) × … × (n − k + 1) = n! ÷ (n − k)!。

直观场景

排队照相每个位置都有谁，会被算成不同的方案——这就是“顺序敏感”的计数。第 1 位有 n 个选择，第 2 位有 n − 1 个，依次相乘。

推导思路

  1. 选第 1 个位置的元素：n 种选择。
  2. 选第 2 个位置：剩下 n − 1 种；……第 k 个位置：剩下 n − k + 1 种。
  3. 由乘法原理，A(n, k) = n × (n − 1) × … × (n − k + 1)。
  4. 全排列：A(n, n) = n!（n 阶乘，n × (n − 1) × … × 2 × 1）。

公式 / 要点

  • 排列 vs 组合：排列计较顺序，组合不计较顺序。
  • 全排列 n! 增长极快：5! = 120，10! ≈ 3.6 × 10⁶。

典型例题

1选三人排队
从 5 名同学中选 3 名排成一排，共有多少种排法？
  1. 第 1 位 5 种、第 2 位 4 种、第 3 位 3 种。
  2. A(5, 3) = 5 × 4 × 3 = 60 种。
2相邻问题（捆绑法）
4 名同学 A、B、C、D 排成一排。要求 A 和 B 相邻，共有多少种排法？
  1. 把 A、B 视作一个整体（“捆绑”）：相当于 3 个对象排队，3! = 6 种。
  2. A、B 内部还能交换：2 种。
  3. 合计 6 × 2 = 12 种。

小结：“相邻”用捆绑法，“不相邻”用插空法。

常见误区

  • 审清“是否计较顺序”：同样的题面，按排列和按组合算，答案差 k! 倍。
  • n! 的乘积要按 n、n − 1、… 依次写出，避免漏乘或多乘。

用到「{entry.name}」的题目

#10035 排列组合·选人组队
计数五年级
#10150 排座位·排列概率
计数六年级

相关知识点

组合捆绑法