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计数#组合

组合

从 n 个不同元素中无序地取 k 个的方法数：C(n, k) = n! ÷ (k! × (n − k)!) = A(n, k) ÷ k!。

直观场景

从一堆糖果里抓 3 颗，谁先谁后无所谓，只看最后哪 3 颗在手——这就是组合。先按排列数 A(n, k) 算出“有序方案”，再除以 k!（消掉内部顺序），就是组合数。

推导思路

  1. 先算排列数 A(n, k) = n × (n − 1) × … × (n − k + 1)。
  2. 在每个组合里，k 个元素可以有 k! 种排列；这些都对应同一个组合，需要除掉。
  3. 故 C(n, k) = A(n, k) ÷ k! = n! ÷ (k! × (n − k)!)。
  4. 对称性：C(n, k) = C(n, n − k)；递推：C(n, k) = C(n − 1, k − 1) + C(n − 1, k)（杨辉三角）。

公式 / 要点

  • 组合数 = 排列数 ÷ k!，本质是“消序”。
  • C(n, 0) = C(n, n) = 1，C(n, 1) = n。

典型例题

1握手问题
10 个人见面，两两握一次手，共握了多少次手？
  1. 每两人握一次，与顺序无关。
  2. C(10, 2) = (10 × 9) ÷ 2 = 45 次。
2选小组
从 8 名同学中选 5 名组成志愿者小组，共有多少种选法？
  1. 无顺序问题。利用对称性 C(8, 5) = C(8, 3)。
  2. C(8, 3) = (8 × 7 × 6) ÷ (3 × 2 × 1) = 56 种。

小结：k 较大时用 C(n, k) = C(n, n − k) 反向算，分子分母都更小。

常见误区

  • 混淆排列与组合：题面有“排成一排 / 顺序 / 名次”等关键词时是排列，否则多半是组合。
  • C(n, k) 的分母是 k!，不是 n!；先约分再相乘可避免大数。

用到「{entry.name}」的题目

#10035 排列组合·选人组队
计数五年级

相关知识点

排列加法原理加乘原理