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通用思想

不放回抽样

抽出后不放回，下一次抽时总数和好结果数都会变。多次连抽用条件概率连乘：P(连续) = P(第一次) × P(第二次 | 第一次) × …

直观场景

袋里 4 红 3 白，抽出第一个红球后袋里只剩 3 红 3 白——下一次抽到红的概率与第一次不同。每抽一次，舞台都会缩小一格。

推导思路

  1. 第一次：P₁ = 想要的数量 ÷ 总数量。
  2. 第二次（已知第一次结果）：P₂ = 在更新后的袋里再算一次比例。
  3. “两次都成功”的概率 = P₁ × P₂（这是条件概率的乘法公式）。
  4. 等价做法：用组合数 C(好, k) ÷ C(总, k) 一气算出 k 次都中的概率。

公式 / 要点

  • 不放回的两次事件不独立，不能直接 P × P。
  • “有放回”才适用独立事件乘法；不放回必须更新分母与分子。

典型例题

1两次都摸到红球
袋中有 4 个红球和 3 个白球。摸出 1 个球不放回，再摸 1 个球。求两次都摸到红球的概率。
  1. 第一次摸到红：4 ÷ 7。
  2. 第一次摸红后袋中剩 3 红 3 白，第二次摸到红：3 ÷ 6 = 1/2。
  3. 两次都红 = (4/7) × (1/2) = 2/7。
2用组合一步算
袋中有 5 个红球、3 个白球。一次性取 2 球，求都是红球的概率。
  1. 好的取法 = C(5, 2) = 10；所有取法 = C(8, 2) = 28。
  2. P = 10 ÷ 28 = 5/14。

小结：“一次性取 k 个 = 不放回连抽 k 次（不计顺序）”，组合公式直接到位。

常见误区

  • 把不放回当成有放回，错用独立事件乘法是最常见的错误。
  • 当 k 较大时记得相应更新每一步的分母与分子，不能只更新一次。

相关知识点

条件概率古典概型组合