一道⁺ / edao.plus

累加法

把所有行（或列、对角线）的和累加起来，用“总和的总和”反求单元格之和。

直观场景

幻方里每行、每列、每对角线的和都相等，都等于“幻和”。把所有行加在一起，其实就是把每个格子加了一次——于是总和 = 行数 × 幻和。反过来就能求幻和。

推导思路

幻方 n × n 的格子总和 S = 所有数字之和。
所有行的和之和 = n × 幻和 = S。
所以幻和 = S ÷ n。
结合某一行/列已有的部分数字，即可解出其余。

公式 / 要点

3 阶幻方用 1..9，总和 45，幻和 = 15。
n 阶幻方（用 1..n²）幻和 = n(n² + 1) / 2。

典型例题

1三阶幻和

用 1–9 填入 3×3 幻方，每行/列/对角线之和相等。求这个和。

总和 = 1 + 2 + … + 9 = 45。
3 行相加 = 3 × 幻和 = 45，幻和 = 15。

2部分已填

三阶幻方中某行已知两个数 8 和 3，求该行第三个。

幻和 = 15；第三个数 = 15 − 8 − 3 = 4。

常见误区

当填入的数字不是 1..n² 时，幻和要按给定数字集合重新算。

用到“累加法”的题目

#10086 等差数列幻方·连续奇数

杂题四年级

#10087 补全三阶幻方

杂题四年级

#10088 四阶幻方·1 到 16 填 4×4

杂题四年级

#10089 五阶幻方·幻和求值

杂题五年级

#10090 六阶幻方·幻和求值

杂题五年级

#10091 三阶积幻方·2 的幂

杂题六年级

#10092 六角幻方·1 到 19

杂题六年级

#10094 十字辐射阵·1 到 5

杂题三年级

相关知识点