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计数#插空法

插空法

要求“不相邻”的对象最后插入，先把其它对象排好，再往“空隙”里放。

直观场景

要让几个人不相邻，先别让他们上台；让其他人先站好形成若干空隙，再把这些人分别插进不同空隙，天然就不挨着。

推导思路

  1. 1先把“可以随意站”的 m 个对象排列：m! 种。
  2. 2这 m 个对象形成 m + 1 个空隙（两端也算）。
  3. 3把不能相邻的 k 个对象从这些空隙里任选 k 个分别放入：A(m+1, k) 种。
  4. 4总数 = m! × A(m+1, k)。

公式 / 要点

  • · 不相邻 → 插空。
  • · 空隙数 = m + 1；若有“不靠端”等限制，空隙要少算。

典型例题

1不相邻
5 个人排一排，甲乙不能相邻。共多少种排法？
  1. 其余 3 人先排：3! = 6。
  2. 产生 4 个空隙，甲乙从中选两个分别插入：4 × 3 = 12。
  3. 共 6 × 12 = 72 种。

小结：也可用“总排列 − 相邻排列 = 120 − 48 = 72”验证。

常见误区

  • 空隙数要按“已排对象 + 1”计，容易漏掉两端的空隙。

用到「插空法」的题目

#10061 节目排序·插空法
计数五年级

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