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通用思想#条件概率

条件概率

“在 B 已经发生的前提下，A 发生”的概率。记作 P(A | B) = P(A 且 B) ÷ P(B)。

直观场景

把样本空间“缩小”到 B 这一部分，再在新样本空间里数 A 的占比。原本一桌 36 种点数组合，知道“第一颗是 6”后只剩 6 种，再问 A 在这 6 种里的占比。

推导思路

  1. P(A | B) = P(A 且 B) ÷ P(B)，要求 P(B) > 0。
  2. 等价：在样本空间 Ω 里只保留属于 B 的结果，重新计数。
  3. 乘法公式：P(A 且 B) = P(A | B) × P(B)，常用来分解多步事件的联合概率。

公式 / 要点

  • 条件概率 ≠ 联合概率：P(A | B) 通常 ≠ P(A 且 B)。
  • 若 A、B 独立，则 P(A | B) = P(A)，条件信息不改变概率。

典型例题

1不放回连抽两次
袋中有 3 个红球、2 个白球。不放回地连抽两次，求第二次抽到红球的概率（已知第一次抽到红球）。
  1. 条件“第一次抽到红球”发生后，袋中变为 2 红、2 白共 4 球。
  2. P(第二次红 | 第一次红) = 2 ÷ 4 = 1/2。
2条件改变结果
掷两枚均匀骰子，已知至少有一枚是 6 点，求两枚都是 6 点的概率。
  1. 样本空间限定为“至少一枚 6”的情形：(6,1)…(6,6) 与 (1,6)…(5,6)，共 11 种。
  2. 其中两枚都是 6 仅 1 种 (6,6)。
  3. P = 1 ÷ 11。

小结：在条件概率中先“缩小样本空间”，然后再像古典概型一样数。

常见误区

  • “P(A | B)”和“P(B | A)”不要混——前者已知 B 求 A，后者反之。
  • 无放回模型必须用条件概率，不要直接套独立事件的乘法。

用到「{entry.name}」的题目

#10147 摸球放回·条件概率
计数六年级
#10148 摸球不放回·概率变化
计数六年级

相关知识点

独立事件古典概型