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排列概率

样本空间和事件都是“排成一列 / 一圈”的排列方式时，用排列数计算 P(A) = 满足条件的排列数 ÷ 总排列数。

直观场景

几个人随机排队照相，每种站法等可能。算“某两人挨在一起”的概率 = 把所有挨在一起的站法数出来，除以全部站法。把概率题化成两个排列数之比。

推导思路

  1. 总样本：全排列 n!（或 A(n, k)，看题目要求“排几人”）。
  2. 好结果：满足条件的排列数。常用工具 —— 捆绑法（相邻）、插空法（不相邻）、固定参照物法（环形）。
  3. P = 好结果排列数 ÷ 总排列数。化简后往往是简洁的分数。

公式 / 要点

  • “相邻”→ 捆绑法把绑定对象视作 1 个整体后再排，再乘内部排列。
  • “不相邻”→ 插空法：先把其它对象排好，再在空位中插入。
  • “环形”→ 固定参照物法：先固定一人位置，剩下 (n − 1)! 种。

典型例题

1两人相邻
4 名同学 A、B、C、D 随机排成一排照相。求 A 和 B 相邻的概率。
  1. 总排法 = 4! = 24。
  2. A、B 相邻：捆绑后视作 3 个对象排队 = 3! = 6；A、B 内部 2 种。好结果 = 6 × 2 = 12。
  3. P = 12 ÷ 24 = 1/2。
2三人不相邻
5 名同学排队，其中 3 名男生 2 名女生。求 3 名男生互不相邻的概率。
  1. 总排法 = 5! = 120。
  2. 插空法：先排 2 名女生 = 2!；女生之间和两端形成 3 个空位，3 名男生插入这 3 空 = 3!。好结果 = 2 × 6 = 12。
  3. P = 12 ÷ 120 = 1/10。

小结：“相邻 = 捆绑、不相邻 = 插空”，记牢这两条让排列概率题秒变填数题。

常见误区

  • 捆绑法别忘了乘内部 k!；插空法别忘了空位数 = 已排对象数 + 1。
  • 环形排列别用 n!，要用 (n − 1)!；同时要确认题目把镜像视为相同还是不同。

用到“排列概率”的题目

#10150 排座位·排列概率
计数六年级

相关知识点

排列捆绑法古典概型