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几何#鸟头模型

鸟头模型

共角三角形面积比 = 夹该角的两邻边乘积之比；相等角或互补角都适用。

直观场景

两个三角形像两只共用一只眼睛的小鸟——它们共用一个角。那只“眼睛”张开的角度一样，它们的大小就只取决于两只翅膀（两邻边）的长度。

共角 ∠A：△ADE 与 △ABC 共享顶点与夹角。

推导思路

  1. 1设 △ABC 与 △ADE 共用 ∠A（或 ∠BAC 与 ∠DAE 互补）。
  2. 2由面积公式 S = ½ · 邻边1 · 邻边2 · sin(夹角)。
  3. 3相等角或互补角时 sin 值相等，两三角形面积比 = (AD·AE) ÷ (AB·AC)。

公式 / 要点

  • · 共角公式：S△ADE / S△ABC = (AD × AE) / (AB × AC)。
  • · 出现在 A 字型（相等角）与 X 字型（互补角）两种图形。

典型例题

1A 字型直接套用
△ABC 中 AB = 3AE，AC = 2AD，S△ABC = 36。求 S△AED。
  1. △AED 与 △ABC 共用 ∠A。
  2. S△AED / S△ABC = (AE × AD) / (AB × AC) = (1/3) × (1/2) = 1/6。
  3. 所以 S△AED = 36 × 1/6 = 6。
2互补角（X 字型）
△ABC 中 D 在 BA 延长线上，E 在 AC 上，AB:AD = 5:2，AE:EC = 3:2，S△ADE = 12。求 S△ABC。
  1. ∠DAE 与 ∠BAC 互补，仍可用鸟头模型。
  2. AE:AC = 3:5。
  3. S△ADE / S△ABC = (AD × AE) / (AB × AC) = (2/5) × (3/5) = 6/25。
  4. 所以 S△ABC = 12 × 25/6 = 50。

小结：判断出“共角或互补角”就能直接写比例，比算坐标快得多。

常见误区

  • 只对“共同那个角”两边做比，不要误用其它边。
  • 先把图中所有边的比用同一个基准表达清楚，再套公式。

用到「鸟头模型」的题目

#10118 共角三角形·A 字型面积比
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#10119 共角三角形·互补型（延长线上取点）
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#10120 共角三角形·平行四边形四角延伸
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