一道 / edao.plus
计算 / 数论#乘法分配律

乘法分配律

(a + b) × c = a × c + b × c；正反两用，是速算与巧算的主力工具。

直观场景

分配律就像“批发共同因数”：几笔相似的乘积里如果有同一个因数，就把它提出来一次算；反过来，难算的乘积里也可以主动“凑”出共同因数。

推导思路

  1. 1基本形式：(a + b) · c = a · c + b · c。
  2. 2反向使用（提公因数）：a · c + b · c = (a + b) · c。
  3. 3速算：把一个复杂因数拆成 (整 + 尾) 或 (整 − 尾)，分别与另一因数相乘再合并。

公式 / 要点

  • · 正用：拆开；反用：合并。
  • · “凑整”是速算的核心动机。

典型例题

1正用拆开
99 × 37 = ?
  1. 99 × 37 = (100 − 1) × 37 = 3700 − 37 = 3663。
2反用提取
125 × 7 + 125 × 3 = ?
  1. = 125 × (7 + 3) = 125 × 10 = 1250。
3混合
37 × 24 + 37 × 76 = ?
  1. = 37 × (24 + 76) = 37 × 100 = 3700。

常见误区

  • 分配只对“乘 + 加/减”成立，不要对“加 × 加”乱用。

相关知识点

凑整法裂项