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几何#面积法

面积法

以面积为“中转货币”：把要求的长度 / 比例问题转化为面积等式。

直观场景

同一个三角形可以用不同的底 × 高来算面积，结果都一样。这就像同一笔钱换成不同面额的硬币，总值不变——选对“底和高”就能让未知量暴露出来。

同一面积两种写法：½·AB·BC = ½·AC·BH。

推导思路

  1. 1找到一个三角形（或四边形），它能用两种方式表达面积。
  2. 2一种方式里出现未知量（比如某条高、某条边）。
  3. 3另一种方式用已知量直接算出。
  4. 4两式相等，解出未知量。

公式 / 要点

  • · 三角形面积 = ½ × 底 × 高（任意一边都可以做底）。
  • · 同底等高三角形面积相等；同高时面积比等于底边比。

典型例题

1用面积求高
直角三角形两直角边为 6 和 8，斜边为 10。求斜边上的高。
  1. 以两直角边为底 × 高：面积 = ½ × 6 × 8 = 24。
  2. 以斜边为底：面积 = ½ × 10 × h。
  3. 24 = 5h → h = 4.8。

小结：同一面积两种写法，是面积法最朴素也最好用的模式。

2用面积求线段比
△ABC 中，D 在 BC 上，S△ABD = 6，S△ACD = 9。求 BD:DC。
  1. △ABD 与 △ACD 同高（都以 A 到 BC 的高为高）。
  2. 面积比 = 底边比，即 BD:DC = 6:9 = 2:3。

常见误区

  • “同高”“同底”要看仔细——随便换底会让高也跟着变。

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