一道 / edao.plus
几何#燕尾模型

燕尾模型

三角形内三线共点，分成的面积比 = 对应底边比；常用于三角形内部“枢纽点”问题。

直观场景

在三角形 ABC 中，从顶点 A 引一条线到 BC 上一点 D，再有两条线把点 D 与其它顶点相连，构成像燕尾一样的图形。共用一点的两个三角形，面积之比由它们“没共用的那条底”的比决定。

AG 延长交 BC 于 D：S△ABG : S△ACG = BD : DC。

推导思路

  1. 1设 G 是 △ABC 内一点，AG 延长交 BC 于 D。
  2. 2△ABG 与 △ACG 共享 AG 为底，高分别为 B、C 到 AG 的距离。
  3. 3同时 △ABD 与 △ACD 共享 AD 为底，高为 B、C 到 AD 的距离——两组高之比相同。
  4. 4所以 S△ABG : S△ACG = S△ABD : S△ACD = BD : DC。

公式 / 要点

  • · S△ABG : S△ACG = BD : DC（D 在 BC 上，AG 过 G 延伸至 D）。
  • · 类似地 S△BGA : S△BGC = AF : FC，S△AGC : S△BGC = AE : EB。

典型例题

1直接套用
△ABC 中 G 是内部一点，AG 延长交 BC 于 D，BD:DC = 2:3，S△ABG = 12。求 S△ACG。
  1. S△ABG : S△ACG = BD : DC = 2 : 3。
  2. S△ACG = 12 × 3/2 = 18。

常见误区

  • 共用的那条线必须过内部交点并与对边相交；不满足时不能套。

用到「燕尾模型」的题目

#10135 燕尾模型·两条 cevian 围出的四边形
几何六年级
#10136 燕尾模型·正方形两中点连线交点
几何六年级
#10137 燕尾模型·三条 cevian 围成的中心三角形
几何六年级
#10138 燕尾模型·中点与三等分点组合
几何六年级
#10139 燕尾模型·由一块面积反求整体
几何六年级

相关知识点

鸟头模型面积法