五年级几何
#等积变形#面积法
题目
如图，三角形 ABC 中，D 是 BC 的中点，E 在线段 AD 上且 AE : ED = 2 : 1。直线 BE 延长后与边 AC 相交于点 F。已知三角形 ABC 的面积为 60，求三角形 AEF 的面积。
解法
- 1.分析：△AEF 的三个顶点里，A 是原顶点，E 在 AD 上（AE : AD = 2 : 3 已知），F 在 AC 上但位置未知——所以突破口是先求出 AF : FC。D 是 BC 中点会让 △ABE 与 △BCE 的面积相等，这是确定 F 位置的关键。
△ABD = △ACD = 30 D 是 BC 中点 △ABE = △ABD × 2/3 = 20 △ACE = △ACD × 2/3 = 20 由 △ABE = △ACE ⇒ AF : FC = 1 : 1 F 是 AC 的中点 △ADF = 30 × 1/2 = 15 △AEF = 15 × 2/3 = 10 答案 中点 + 比例点两步缩放即可得到答案
- 2.第一步：D 是 BC 中点 ⇒ △ABD = △ACD = 60 ÷ 2 = 30。△ABC60△ACD30△ADF15△AEF10
由 △ABC 向 △AEF 的两步缩放：先 ×1/2（取 AF=AC/2），再 ×2/3（取 AE=2AD/3）
- 3.第二步：E 在 AD 上且 AE : AD = 2 : 3。以 AB 为公共边，△ABE 与 △ABD 的高之比 = AE : AD ⇒ △ABE = 30 × 2/3 = 20；同理 △ACE = 30 × 2/3 = 20。△AEF 面积=10📐
- 4.第三步：所以 △ABE = △ACE = 20，即点 E 到 AB、AC 两边的等价面积相同。延长 BE 到 AC 上的 F，考察 △ABF 与 △CBF：它们以 AF、FC 为底、同高（顶点都是 B），故 △ABF : △CBF = AF : FC。
- 5.第四步：另一方面，△ABF 和 △CBF 共用高 BF 所在直线 = 高度不同；但都可以拆成 △ABE + △AEF 与 △CBE + △CEF。由 △ABE = △CBE = 20，且 △AEF : △CEF = AF : FC（E 为公共顶点、底共线），记 AF : FC = k，则 △ABF = 20 + k·t，△CBF = 20 + t（t = △CEF），且 △ABF : △CBF = k = (20 + kt)/(20 + t) ⇒ 20k + kt = 20 + kt ⇒ k = 1。故 AF : FC = 1 : 1，F 为 AC 的中点。
- 6.第五步：逐层缩放得到 △AEF：△ADF = △ADC × (AF/AC) = 30 × 1/2 = 15；△AEF = △ADF × (AE/AD) = 15 × 2/3 = 10。
- 7.所以 △AEF 的面积为 10。
知识点
练一练
三角形 ABC 的面积为 45。D 是 BC 的中点，E 在 AD 上使 AE : ED = 1 : 2。直线 BE 与 AC 交于 F。求三角形 AEF 的面积。