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#10117

等积变换·中线与比例交点

几何五年级#等积变形#面积法
题目

如图，三角形 ABC 中，D 是 AC 的中点，E 是 BC 的中点。

连接 DE 并延长，与 AB 的延长线相交于点 F。已知三角形 ABC 的面积为 60，求三角形 AEF 的面积。

解法

  1. 分析：△AEF 的三个顶点里只有 F 在 AC 上、位置未知，所以先定 AF : FC。

    D 是 BC 中点使 △ABD = △ACD，再由 E 在 AD 上（AE : AD = 2 : 3）得 △ABE = △ACE = 20，说明 E 到 AB 与 AC 的“面积贡献”对称，从而 BE 的延长线 F 必为 AC 的中点。

    △ABD = △ACD (D 是 BC 中点)
    =30
    △ABE = △ABD × 2/3
    =20
    △ACE = △ACD × 2/3
    =20
    由 △ABE = △ACE ⇒ AF : FC (F 是 AC 的中点)
    =1 : 1

  2. 确定 AF : FC = 1 : 1 后，对 △AEF 做两步缩放：△ADF = △ADC · (AF/AC) = 30 · 1/2 = 15；△AEF = △ADF · (AE/AD) = 15 · 2/3 = 10。

    △ADF = 30 × 1/2
    =15
    △AEF = 15 × 2/3
    =10
    △ABC
    60
    △ACD
    30
    △ADF
    15
    △AEF
    10

  3. 所以 △AEF = 10。

方法

等积变形在平行线之间平移顶点，三角形面积不变；用来“把难算的图形搬到好算的位置”。面积法以面积为“中转货币”：把要求的长度 / 比例问题转化为面积等式。

练一练

三角形 ABC 的面积为 45。D 是 BC 的中点，E 在 AD 上使 AE : ED = 1 : 2。

直线 BE 与 AC 交于 F。求三角形 AEF 的面积。

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