#10115

等积变换·直角梯形内三角形（比例点）

题目

如图，直角梯形 ABCD 中，AD ∥ BC，AB ⊥ AD，AD = 5，BC = 7，AB = 8。

E 是 AB 上一点，AE = 5（即 EB = 3）；F 是 CD 上一点，DF : FC = 2 : 3。

求三角形 DEF 的面积。

解法

分析：先求 △DEC（暂忽略 F），再按 F 在 DC 上的位置按底比缩放得到 △DEF。
梯形面积 = (5 + 7)·8/2 = 48；△ADE = (1/2)·5·5 = 12.5（∠A 直角）；△BCE = (1/2)·7·3 = 10.5（∠B 直角）；△DCE = 48 − 12.5 − 10.5 = 25。
DF : DC = 2 : 5，△DEF 与 △DEC 同以 E 为顶、底共线 ⇒ △DEF = 25 · 2/5 = 10。
梯形 ABCD
=(5 + 7) × 8 ÷ 2
=48
△ADE
=1/2 × 5 × 5
=12.5
△BCE
=1/2 × 7 × 3
=10.5
△DEC
=48 − 12.5 − 10.5 (等积变换：整体减去外围)
=25
△DEF
=25 × (2/5)
=10

直角梯形 ABCD 中 AD ∥ BC，AB ⊥ AD，AD = 4，BC = 6，AB = 10。E 在 AB 上使 AE = 4；F 在 CD 上使 DF : FC = 1 : 4。求三角形 DEF 的面积。