#10115

等积变换·直角梯形内三角形（比例点）

六年级几何

#等积变形#面积法

题目

如图，直角梯形 ABCD 中，AD ∥ BC，AB ⊥ AD，AD = 5，BC = 7，AB = 8。E 是 AB 上一点，AE = 5（即 EB = 3）；F 是 CD 上一点，DF : FC = 2 : 3。求三角形 DEF 的面积。

直角梯形 ABCD（AD=5, BC=7, AB=8），E 在 AB 上且 AE=5，F 在 CD 上且 DF:FC=2:3

解法

1.分析：直接算 △DEF 不容易，但它的三个顶点都落在梯形边上；一种自然思路是先算 △DEC（暂忽略 F），再按 F 在 DC 上的位置比例缩放。
梯形 ABCD = (5 + 7) × 8 ÷ 2 = 48
△ADE = 1/2 × 5 × 5 = 12.5
△BCE = 1/2 × 7 × 3 = 10.5
△DEC = 48 − 12.5 − 10.5 = 25 等积变换：整体减去外围
△DEF = 25 × (2/5) = 10 答案
先求 △DEC，再按 DF:DC 比例缩放
2.第一步：算梯形面积。梯形 ABCD 面积 = (AD + BC) × AB ÷ 2 = (5 + 7) × 8 ÷ 2 = 48。
△DEF 是 △DEC 的 2/5（因为 DF : DC = 2 : 5）
3.第二步：算 △ADE。∠A 是直角，两直角边 AD = 5、AE = 5，所以 △ADE = (1/2) × 5 × 5 = 12.5。
× 10△DEF 面积
4.第三步：算 △BCE。∠B 是直角，两直角边 BC = 7、BE = 3，所以 △BCE = (1/2) × 7 × 3 = 10.5。
5.第四步：用等积变换思想，梯形 = △ADE + △DCE + △BCE，所以 △DCE = 48 − 12.5 − 10.5 = 25。
6.第五步：F 在 DC 上且 DF : DC = 2 : 5。△DEF 与 △DEC 同以 E 为顶点，底分别是 DF 与 DC，底在同一条直线上 ⇒ 等高 ⇒ 面积比 = 底之比。
7.所以 △DEF = △DEC × (DF / DC) = 25 × (2/5) = 10。

直角梯形 ABCD 中 AD ∥ BC，AB ⊥ AD，AD = 4，BC = 6，AB = 10。E 在 AB 上使 AE = 4；F 在 CD 上使 DF : FC = 1 : 4。求三角形 DEF 的面积。