四年级几何几何模型
#梯形#蝴蝶模型#等积变形#面积
题目
如图，四边形ABCD是一个梯形，上底AD长4，下底BC长8。对角线AC和BD相交于点O。已知三角形AOD的面积是10平方厘米，那么梯形ABCD的总面积是多少平方厘米？
解法
- 1.在梯形ABCD中，AD 平行于 BC。三角形AOD和三角形COB是相似三角形，边长比为 AD : BC = 4 : 8 = 1 : 2。
步骤1：AD∥BC，所以△AOD和△COB相似。边长比4:8=1:2，面积比1:4。已知S₁=10，所以S₄=40。
- 2.根据相似三角形的性质，面积比等于边长比的平方。所以 S△AOD : S△COB = 1² : 2² = 1 : 4。🔺× 10S△AOD→🔻× 40S△COB
S△AOD = 10，所以 S△COB = 10 × 4 = 40
- 3.因为S△AOD = 10，所以S△COB = 10 × 4 = 40 平方厘米。
步骤2：蝴蝶模型——两翼面积相等，且等于上下两个三角形面积乘积的平方根。S₂ = S₃ = √(10×40) = 20。
- 4.根据蝴蝶模型，在梯形的两翼，三角形AOB和三角形DOC的面积相等。且每个三角形的面积等于上下两个三角形面积乘积的平方根，即 √(S△AOD × S△COB)。🔷× 90梯形总面积 (平方厘米)
总面积 = S₁ + S₂ + S₃ + S₄ = 10 + 20 + 20 + 40 = 90
- 5.S△AOB = S△DOC = √(10 × 40) = √400 = 20 平方厘米。
- 6.梯形总面积 = S△AOD + S△COB + S△AOB + S△DOC = 10 + 40 + 20 + 20 = 90 平方厘米。
练一练
梯形ABCD中，AD//BC，对角线交于O。已知S△AOD=4，S△BOC=9，求S△AOB。