题目
如图，平行四边形 ABCD 的面积为 2。把它的四条边依次向外延伸：在 AB 延长线上取 E，使 BE = AB；在 BC 延长线上取 F，使 CF = 2·CB；在 CD 延长线上取 G，使 DG = 3·DC；在 DA 延长线上取 H，使 AH = 4·AD。连接 EFGH 得到一个四边形。求四边形 EFGH 的面积。
解法
- 分析：EFGH 可以拆成中间的平行四边形 ABCD 加上四个「角上」的共角三角形 △AHE、△BEF、△CFG、△DGH。每个顶点处两条延长线与原顶点夹角和平行四边形相应角互补，可以直接用鸟头模型（互补型）的夹边乘积比求面积。
顶点 A：AH·AE / AD·AB = 4 · 2 = 8 △AHE = 8 × 1 顶点 B：BE·BF / BA·BC = 1 · 3 = 3 △BEF = 3 × 1 顶点 C：CF·CG / CB·CD = 2 · 4 = 8 △CFG = 8 × 1 顶点 D：DG·DH / DC·DA = 3 · 5 = 15 △DGH = 15 × 1 EFGH = 2 + 8 + 3 + 8 + 15 = 36 答案 四个角上分别套用互补型鸟头定理，再与中间平行四边形相加
- 取 ABCD 一条对角线把它分成两块，每块面积 = 1（即 △ABD = △ABC = △BCD = △CDA = 1），作为四个角上共角三角形的参照。
EFGH 拆成 ABCD + 四个共角三角形，面积依次为 2, 8, 3, 8, 15
- 四角按夹边乘积比计算（详见 scenes 的 equation-list）：△AHE : △ABD = 4 · 2 = 8，△BEF : △ABC = 1 · 3 = 3，△CFG : △BCD = 2 · 4 = 8，△DGH : △CDA = 3 · 5 = 15；各自乘以参照 1 即为自身面积。🔷= 36EFGH 面积+📐= 18 : 1EFGH : ABCD
- EFGH = ABCD + 8 + 3 + 8 + 15 = 2 + 34 = 36，是 ABCD 的 18 倍。
知识点
练一练
平行四边形 ABCD 面积为 3。把它四条边依次向外延长：BE = AB，CF = CB，DG = DC，AH = AD。求四边形 EFGH 的面积。