#10122

共角模型·多级比例点综合

六年级几何

#鸟头模型#等积变形

题目

如图，三角形 ABC 的面积为 1。D 在 BC 上，且 BC = 5·BD；E 在 AC 上，且 AC = 4·EC（即 AE = 3·EC）。连接 DE；在线段 DE 上取两点 G、S，使 DG = GS = SE（即 G、S 把 DE 三等分）。连接 AG 并在 AG 上取点 F，使 AF = FG（F 为 AG 的中点）。求三角形 FGS 的面积。

△ABC 内部的多级比例点：D 把 BC 分 1:4；E 把 AC 分 3:1；G、S 三等分 DE；F 是 AG 的中点

解法

1.分析：看似复杂，但每一步都可以被分解为「共角三角形」或「等高底比」的缩放。关键是按依赖顺序：先算 △ADE，再算 △ADG，再用比例直接得到 △AGS、△FGS。
△ADC = △ABC × 4/5 = 4/5
△ADE = △ADC × 3/4 = 3/5
△ADG = △ADE × 1/3 = 1/5
△AGS = △ADG × (GS/DG) = 1/5 GS = DG
△FGS = △AGS × 1/2 = 1/10 答案
从大到小逐层缩放
2.第一步：求 △ADC。D 在 BC 上，DC / BC = 4/5 ⇒ △ADC = △ABC × 4/5 = 4/5。
△ABC
1
△ADE
0.6
△ADG
0.2
△FGS
0.1
每一步的面积都是可以显式列出的缩小比例
3.第二步：求 △ADE（E 在 AC 上，AE/AC = 3/4）。△ADE 与 △ADC 同以 AD 为公共底、同高（E、C 在 AC 上）⇒ 面积比 = AE : AC = 3 : 4 ⇒ △ADE = (3/4) × (4/5) = 3/5。
× 1/10△FGS 面积
4.第三步：求 △ADG。在 △ADE 内，G 在 DE 上且 DG/DE = 1/3。△ADG 与 △ADE 同以 AD 为公共底、E 与 G 到 AD 的距离比 = GE 在 E 侧距离与 DE 整段距离比——但更简单的等价说法：以 D 为公共顶点 A、G、E 在同一直线 DE 上，△ADG 与 △ADE 同以 AD 为底、高之比 = DG : DE = 1 : 3 ⇒ △ADG = (1/3) · (3/5) = 1/5。
5.第四步：求 △AGS。S 在 DE 上且 GS = DG = DE/3，所以 GS : DG = 1 : 1。△AGS 与 △ADG 同以 AG 为公共边、顶点 S、D 在直线 DE 上 ⇒ 面积比 = GS : GD = 1 : 1 ⇒ △AGS = △ADG = 1/5。
6.第五步：求 △FGS。F 是 AG 的中点 ⇒ △FGS 与 △AGS 同以 GS 为公共底、顶点 F、A 在直线 AG 上、FG : AG = 1 : 2 ⇒ △FGS = (1/2) · △AGS = (1/2) · (1/5) = 1/10。
7.结论：△FGS 的面积为 1/10。

练一练

三角形 ABC 面积为 60。D 在 BC 上且 BD : DC = 1 : 2；E 在 AC 上且 AE : EC = 1 : 1（E 为 AC 的中点）。M 是 DE 的中点，N 是 AM 的中点。求三角形 ADN 的面积。

△ADC = △ABC × 4/5	=	4/5
△ADE = △ADC × 3/4	=	3/5
△ADG = △ADE × 1/3	=	1/5
△AGS = △ADG × (GS/DG)	=	1/5	GS = DG
△FGS = △AGS × 1/2	=	1/10		答案

解法

练一练

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