#10122

共角模型·多级比例点综合

题目

如图，三角形 ABC 的面积为 1。

D 在 BC 上，且 BC = 5·BD；E 在 AC 上，且 AC = 4·EC（即 AE = 3·EC）。

连接 DE；在线段 DE 上取两点 G、S，使 DG = GS = SE（即 G、S 把 DE 三等分）。连接 AG 并在 AG 上取点 F，使 AF = FG（F 为 AG 的中点）。

求三角形 FGS 的面积。

解法

分析：每一层都可以化为“同底等高比”或“共顶点底比”的缩放。

按依赖顺序从大到小：△ABC → △ADC → △ADE → △ADG → △AGS → △FGS，每步都是一次比例乘法。
逐层缩放（详见 scenes 的 equation-list）：△ADC = △ABC · DC/BC = 4/5；△ADE = △ADC · AE/AC = 3/5（同底 AD）；△ADG = △ADE · DG/DE = 1/5；△AGS = △ADG · GS/DG = 1/5（GS = DG）；△FGS = △AGS · FG/AG = 1/10（F 为 AG 中点）。
结论：△FGS 的面积为 1/10。
△ADC = △ABC × 4/5
=4/5
△ADE = △ADC × 3/4
=3/5
△ADG = △ADE × 1/3
=1/5
△AGS = △ADG × (GS/DG) (GS = DG)
=1/5
△FGS = △AGS × 1/2
=1/10
△ABC
1
△ADE
0.6
△ADG
0.2
△FGS
0.1

三角形 ABC 面积为 180。D 在 BC 上且 BD : DC = 2 : 3；E 在 AC 上且 AE : EC = 2 : 1。

连接 DE。G 在 DE 上且 DG : GE = 1 : 2。连接 AG，F 在 AG 上且 AF : FG = 3 : 1。

求三角形 DGF 的面积。