#10116

等积变换·两条边上的比例点

五年级几何

#等积变形

题目

如图，在三角形 ABC 中，D 在 BC 上，且 BD = 2DC；E 在 AC 上，且 AE = 3EC。已知三角形 DEC 的面积为 3，求三角形 ABC 的面积。

△DEC（阴影）面积为 3，两条边上分别有比例分点

解法

1.分析：D 把 BC 分成 BD : DC = 2 : 1，所以 DC 占 BC 的 1/3；E 把 AC 分成 AE : EC = 3 : 1，所以 EC 占 AC 的 1/4。两条边上的「裁剪比例」可以依次应用。
DC / BC = 1/3 BD = 2DC
EC / AC = 1/4 AE = 3EC
△DEC : △ABC = 1/3 × 1/4 = 1/12
△ABC = 3 × 12 = 36 答案
面积比 = 两条边上比例之积
2.第一步：连 AD。△ADC 与 △ABC 同以 A 为顶点，底分别是 DC 与 BC，底在同一直线上 ⇒ 等高 ⇒ △ADC = △ABC × (DC / BC) = △ABC × 1/3。
△DEC
3
△ADC
12
△ABC
36
△ADC 是 △DEC 的 4 倍，△ABC 又是 △ADC 的 3 倍
3.第二步：在 △ADC 中，E 在 AC 上。△DEC 与 △ADC 同以 D 为顶点，底分别是 EC 与 AC ⇒ △DEC = △ADC × (EC / AC) = △ADC × 1/4。
× 36△ABC 面积
4.第三步：连乘 △DEC = △ABC × (1/3) × (1/4) = △ABC × 1/12。
5.代入：3 = △ABC × 1/12 ⇒ △ABC = 36。

在三角形 ABC 中，D 在 BC 上使 BD = 3DC，E 在 AC 上使 AE = 4EC。已知三角形 DEC 的面积为 2，求三角形 ABC 的面积。