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#10124

蝴蝶模型·梯形对角线四块面积

五年级几何

#蝴蝶模型

题目

如图，梯形 ABCD 中 AB ∥ CD，两条对角线 AC 与 BD 相交于点 O。已知三角形 AOB 的面积为 25，三角形 BOC 的面积为 35。求梯形 ABCD 的总面积。

梯形 ABCD，AB ∥ CD，两条对角线交于 O；△AOB = 25，△BOC = 35

解法

1.分析：两条对角线把梯形分成 4 个三角形：△AOB（顶）、△BOC 与 △AOD（左右两侧）、△COD（底）。对于任意梯形，有两条关键结论：(1) △BOC = △AOD（由于 AB ∥ CD，△ABC = △ABD，同减去 △AOB 得 △BOC = △AOD）；(2) △AOB · △COD = △BOC · △AOD（蝴蝶定理）。
△AOD = 35 = △BOC（AB ∥ CD 的推论）
△AOB · △COD = 35 × 35 = 1225 蝴蝶定理
△COD = 1225 ÷ 25 = 49
梯形 = 25 + 35 + 35 + 49 = 144 答案
两个结论联手即可求完四块面积
2.第一步：由结论 (1)，△AOD = △BOC = 35。
△AOB
25
△BOC
35
△AOD
35
△COD
49
梯形四块面积（合计 144）
3.第二步：由结论 (2)，△AOB · △COD = △BOC · △AOD = 35 × 35 = 1225。
× 144梯形总面积
4.第三步：△COD = 1225 ÷ 25 = 49。
5.第四步：梯形总面积 = 25 + 35 + 35 + 49 = 144。

练一练

梯形 ABCD 中 AB ∥ CD，对角线交于 O。已知三角形 AOB 的面积为 4，三角形 BOC 的面积为 6。求梯形的总面积。

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