#10127

蝴蝶模型·一般四边形对角线四块

六年级几何

#蝴蝶模型

题目

如图，四边形 ABCD 的两条对角线 AC、BD 相交于点 O，把四边形分成四个三角形。已知三角形 AOB、BOC、COD 的面积依次是 4、6、9。求三角形 AOD 的面积以及四边形 ABCD 的总面积。

一般四边形 ABCD，两条对角线交于 O

解法

1.分析：对于任意两条相交线段 AC、BD 交于 O，在两端连成四边形 ABCD 后，四个小三角形的面积有一个很美的结构。设 OA = a₁, OC = a₂, OB = b₁, OD = b₂，设两对角线的夹角为 θ，则：△AOB = (1/2)·a₁·b₁·sinθ, △BOC = (1/2)·a₂·b₁·sinθ, △COD = (1/2)·a₂·b₂·sinθ, △AOD = (1/2)·a₁·b₂·sinθ。因此 △AOB · △COD = △BOC · △AOD，这就是蝴蝶模型——它对任意四边形都成立，不必是梯形。
△AOB · △COD = 4 × 9 = 36 蝴蝶
△BOC · △AOD = 6 × △AOD
△AOD = 36 ÷ 6 = 6
ABCD = 4 + 6 + 9 + 6 = 25 答案
一个公式直接给出 △AOD，再加和即得总面积
2.第一步：套公式。△AOB · △COD = △BOC · △AOD ⇒ 4 × 9 = 6 × △AOD ⇒ △AOD = 36 ÷ 6 = 6。
△AOB
4
△BOC
6
△COD
9
△AOD
6
四块面积（总和 25）
3.第二步：总面积 = 4 + 6 + 9 + 6 = 25。
× 6△AOD
+
× 25ABCD 总面积
4.附注：另一种看法——由 △AOB : △BOC = OA : OC = 4 : 6 = 2 : 3；再由 △AOD : △COD = OA : OC = 2 : 3 ⇒ △AOD = 9 × 2/3 = 6，与上一解法一致。

四边形 ABCD 两条对角线交于 O。已知 △AOB = 9，△BOC = 12，△COD = 16。求 △AOD 的面积与四边形总面积。