#10125

蝴蝶模型·梯形平方比

题目

如图，梯形 ABCD 中 AB ∥ CD，两条对角线交于 O，把梯形分成四个三角形 S₁、S₂、S₃、S₄。

已知 S₂ = 2，S₃ = 4，求梯形 ABCD 的总面积。

解法

分析：对于梯形 (AB ∥ CD)，蝴蝶模型给出两条直接可用的结论：
1. 两侧三角形面积相等 S₂ = S₄
2. 上下两三角形面积之积等于左右两三角形面积之积 S₁·S₃ = S₂·S₄，即 S₁·S₃ = S₂²
由结论 1，S₄ = S₂ = 2。
由结论 2，S₁ = S₂² ÷ S₃ = 2² ÷ 4 = 4 ÷ 4 = 1。
梯形总面积 = S₁ + S₂ + S₃ + S₄ = 1 + 2 + 4 + 2 = 9。
S₄ (= S₂)
=2
S₁ = S₂² / S₃
=4 / 4 = 1
梯形 = 1 + 2 + 4 + 2
=9
S₁
1
S₂
2
S₃
4
S₄
2

梯形 ABCD 中 AB ∥ CD，对角线交于 O。已知 S₂ = 6、S₃ = 9，求梯形总面积。