#10126

蝴蝶模型·正六边形内对角线交点

题目

如图，正六边形 ABCDEF 的面积为 1。连接对角线 AC 与 BD，它们相交于点 P。

求三角形 BCP 的面积。

解法

分析：P 是四边形 ABCD 的对角线交点。在正六边形里 ABCD 恰好是一个等腰梯形（AD ∥ BC，AD = 2·BC），且梯形面积 = 六边形的一半 = 1/2。

对梯形套用蝴蝶模型即可。
梯形蝴蝶分配：△BCP : △ADP : △ABP : △CDP = BC² : AD² : BC·AD : BC·AD = 1 : 4 : 2 : 2，四块之和 9·△BCP = 1/2。
解得 △BCP = 1/18。
梯形 ABCD 面积 (六边形的一半)
=1/2
AD : BC (主对角线 : 边)
=2 : 1
△BCP : △ADP : △ABP : △CDP
=1 : 4 : 2 : 2
9·△BCP = 1/2
=△BCP = 1/18

如图，正六边形 ABCDEF 的边长为 6。

连接 AC、CE、EA，三条对角线两两相交形成中心小三角形 GHI。求三角形 GHI 的面积。