#10126

蝴蝶模型·正六边形内对角线交点

六年级几何

#蝴蝶模型

题目

如图，正六边形 ABCDEF 的面积为 1。连接对角线 AC 与 BD，它们相交于点 P。求三角形 BCP 的面积。

正六边形 ABCDEF；对角线 AC 与 BD 交于 P

解法

1.分析：P 是四边形 ABCD 两条对角线 AC、BD 的交点。只要弄清 ABCD 是什么形状，再套用蝴蝶模型（四边形对角线切分出的四块面积满足 △ABP · △CDP = △BCP · △ADP）即可。
梯形 ABCD 面积 = 1/2 六边形的一半
AD : BC = 2 : 1 主对角线 : 边
△BCP : △ADP : △ABP : △CDP = 1 : 4 : 2 : 2
9·△BCP = 1/2 = △BCP = 1/18 答案
梯形蝴蝶的 1 : 4 : 2 : 2 分配
2.第一步：ABCD 是哪种四边形？在正六边形中，B、C 是相邻顶点，而 A、D 是它们各自斜对面的顶点；AB ∥ ED 且 CD ∥ FA，其中 AD 是一条长对角线，BC 是一条边。事实上 ABCD 是一个等腰梯形：AD ∥ BC（AD 是主对角线，BC 是边，均水平），且 AB = CD（对称）。
黄色区域是梯形 ABCD，红色小三角是 △BCP
3.第二步：AD 是正六边形的主对角线，长度 = 2（若边长为 1）；BC 是一条边，长度 = 1。所以 AD : BC = 2 : 1。
× 1/18△BCP 面积
4.第三步：梯形蝴蝶：△BCP : △ADP = (BC)² : (AD)² = 1 : 4；两侧三角形相等 △ABP = △CDP；且 △BCP · △ADP = △ABP · △CDP。
5.第四步：求梯形 ABCD 的面积。正六边形可看作 6 个边长为 1 的等边三角形之和，面积 = 6 · (√3/4) = 3√3/2，题设正六边形面积 = 1，所以每个单位等边三角形 = 1/6。梯形 ABCD 由 3 个这样的等边三角形拼成（以 AD 为底：两个在 BC 外侧凑出侧边，再加中心一个；也可直接看图），面积 = 3 × 1/6 = 1/2。
6.第五步：设 △BCP = x，则 △ADP = 4x，两侧 △ABP = △CDP = √(x · 4x) = 2x。梯形面积 = x + 4x + 2x + 2x = 9x。
7.第六步：9x = 1/2 ⇒ x = 1/18。
8.结论：三角形 BCP 的面积为 1/18。

练一练

正六边形 ABCDEF 的面积为 36。连接 AC 与 BD，它们相交于 P。求三角形 ADP 的面积。

梯形 ABCD 面积	=	1/2	六边形的一半
AD : BC	=	2 : 1	主对角线 : 边
△BCP : △ADP : △ABP : △CDP	=	1 : 4 : 2 : 2
9·△BCP = 1/2	=	△BCP = 1/18		答案

解法

练一练

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