四年级杂题
#累加法#中心数法
题目
如图，一个三角形由 3 个顶点 + 3 个边中点 + 1 个中心点（三条中线的公共点）构成，共 7 个位置。把 1 到 7 各用一次填入这 7 个位置，要求满足以下两类条件都成立： (A) 三角形每条边上 3 个数字（两个顶点 + 1 个中点）之和都相等； (B) 从每个顶点出发经过中心到对边中点的 3 个位置（顶点 + 中心 + 对边中点）之和也都相等。 请求出这两个公共和分别等于多少？中心点必须填几？
解法
- 1.分析：7 个位置填 1–7，总和 28。设每条边和为 S₁（三条边），每条中线和为 S₂（三条中线）。中心点记为 c。
3S₁ = V + 28 − c 3S₂ = 28 + 2c c ∈ = {1, 4, 7} 取 c=4 = S₂=12；S₁=12（V=12 时） - 2.(A) 边的累加：每顶点属 2 条边，每边中点属 1 条边。3S₁ = 2·(顶点和 V) + (中点和 M) = V + (V + M) = V + (28 − c)。即 3S₁ = V + 28 − c。 …(1)
- 3.(B) 中线的累加：每顶点属 1 条中线、每边中点属 1 条中线、中心 c 属于 3 条中线。3S₂ = V + M + 3c = (V + M) + 3c = (28 − c) + 3c = 28 + 2c。 …(2)
- 4.由 (2)：3S₂ = 28 + 2c，要求 28 + 2c 被 3 整除，即 c ≡ 1 (mod 3)，c ∈ {1, 4, 7}。
- 5.取 c = 4（最平衡）：S₂ = 36/3 = 12。再由 (1)：3S₁ = V + 24，V 须被 3 整除。3 顶点选自 {1,2,3,5,6,7} 且 V 是 3 的倍数；比如 V = 12（顶点 {1,5,6} 或 {2,3,7} 等），对应 S₁ = 12。
- 6.验证一种填法：中心 4；顶点 (1, 5, 6)；边中点 (2, 7, 3) 按对边关系放置，使每边和 = 12、每中线和 = 12。
练一练
在 7 格含中心的三角阵中填 1–7，使 3 边和 S₁ 相等，3 中线和 S₂ 相等，且 S₁ = S₂。问中心填几？此时 S₁ 和顶点和 V 分别是多少？