#10107

1–6 三角幻形·边和的所有取值

题目

如图，把 1, 2, 3, 4, 5, 6 这 6 个数字各用一次，填入三角形的 3 个顶点和 3 条边的中点，使三角形每条边上 3 个数字（两端顶点 + 中点）之和都相等。

问：

解法

分析：记 3 个顶点之和为 V，3 个中点之和为 M，则 V + M = 1 + 2 + ⋯ + 6 = 21。

把 3 条边的和加起来，每个顶点被算 2 次、每个中点被算 1 次，所以 3S = 2V + M = V + 21。
于是 S = (V + 21) / 3，要求 V 是 3 的倍数；而 V 是从 1–6 中任取 3 个不同数之和，故 V ∈ {6, 9, 12, 15}，对应 S ∈ {9, 10, 11, 12}。下表给出每种 V 的一组合法填法，4 个取值均可达成。
顶点 {1, 2, 3}
=中点 {4, 5, 6}，S = 9
顶点 {1, 3, 5}
=中点 {2, 4, 6}，S = 10
顶点 {2, 4, 6}
=中点 {1, 3, 5}，S = 11
顶点 {4, 5, 6}
=中点 {1, 2, 3}，S = 12
S 可能取值
=9, 10, 11, 12（共 4 个）

在同一张图中把 1–6 各填一次，使三边和都相等。问公共和 S 的最小值和最大值分别是多少？