五年级杂题
#枚举法#分类讨论#排除法
题目
把 1, 2, 3 这 3 个数字填入 3×3 方格，使每行、每列都恰好出现 1, 2, 3 各一次（即 3 阶拉丁方）。此外还要满足以下 5 条不等号约束： (1) (1,1) < (1,2) (2) (2,1) > (2,2) (3) (3,2) < (3,3) (4) (1,3) > (2,3) (5) (2,2) > (3,2) 请给出满足上述所有条件的填法（可以证明此填法唯一）。
解法
- 1.分析：为方便叙述，把方格记作 a,b,c / d,e,f / g,h,i。每行每列都是 1,2,3 的排列。注意约束 (2) d>e 与 (5) e>h 可以串联：d > e > h，这是整题的突破口。
d > e > h = d=3, e=2, h=1 三数取自 {1,2,3} ① 第 2 列：{e=2, h=1, b} = b=3 ② 第 2 行：{d=3, e=2, f} = f=1 ③ 第 3 行：{g, h=1, i}，第 1 列禁 3 = g=2, i=3 ④ 第 1 行：{a, b=3, c}，第 1 列禁 3,2 = a=1, c=2 ⑤ 沿着 d>e>h 串联推理，逐步确定每一格
- 2.第一步：d > e > h 且三数都取自 {1,2,3}，所以只能 d=3, e=2, h=1。132321213
唯一解（高亮格为突破口 d=3, e=2, h=1）
- 3.第二步（看第 2 列）：第 2 列已有 e=2, h=1，故 b=3。
- 4.第三步（看第 2 行）：第 2 行已有 d=3, e=2，故 f=1。
- 5.第四步（看第 3 行）：第 3 行已有 h=1，剩下 g, i ∈ {2,3}；而第 1 列已有 d=3，所以 g ≠ 3，只能 g=2，进而 i=3。
- 6.第五步（看第 1 行）：第 1 行已有 b=3，第 1 列已有 g=2 故 a ≠ 2，于是 a=1, c=2。
- 7.验证剩余约束：(1) a=1 < b=3 ✓；(3) h=1 < i=3 ✓；(4) c=2 > f=1 ✓。全部成立。
- 8.唯一解： 1 3 2 3 2 1 2 1 3。
练一练
把 1, 2, 3 填入 2×3 方格，使每行恰好出现 1, 2, 3 各一次；要求 (1,1) < (1,2) < (1,3) 且 (2,1) > (2,2) > (2,3)。请写出第 2 行从左到右的数字（用空格分隔）。